探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积教学目标

《祖暅原理与球的体积》教学设计

陈

枫 武汉市育才高中

一、教材分析

本节课的内容选自普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修2第一章第三节《球的体积和表面积》第一课时. 球体作为一类特殊的旋转体，球的体积的推导过程充满了辩证法，处处体现立体图形与平面图形之间的对照、转换．

本节课是学习球的体积的起始课，是在学习了柱体、锥体和台体的体积之后的又一重要内容，根据祖暅原理推出球的体积，也进一步巩固了等体积法在求空间几何体体积中的应用. 从知识的应用价值来看，球的体积在生活和科学技术中有广泛的应用，体现了数学与生产和科学技术的紧密联系；在球的体积的推导中所蕴涵的数学思想方法如化曲为直、类比推理等在各种空间几何体的研究问题中都有着广泛的应用. 从内容的人文价值来看，球的体积的推导需要学生分析、猜想、实验、计算，有助于培养学生的空间想象能力、逻辑思维和探究精神，是培养学生理性分析和数学能力的良好载体. 二、学情分析

高一学生在学习本节课内容之前，已经系统地学习了柱体和锥体的体积，并基本掌握祖暅原理在求几何体的体积上的应用，对等体积法有了初步的认识．通过空间几何体的结构特征的学习，学生已经对球体的性质有了一定的了解，具备一定的分析观察与逻辑推理能力,并有强烈的求知欲. 三、教学目标

1.知识与技能：

1）观看几何画板的演示，理解球的体积与球的半径有关；

2）类比柱体和锥体的体积公式的推导过程，探究球的体积公式；

3）掌握两类基本的关于球的组合体计算问题，能根据已知条件分析组合体的结构特征，从而求出球的体积；

2.过程与方法：

1）实验探究球体的结构特征，提高观察及概括的能力；

2）推导球体的体积公式，进一步渗透祖暅原理，提高观察、类比、分析、计算能力；

3）对比两类组合体切、接问题，培养化曲为直、数形结合的思想. 3.情感、态度与价值观：

1）经历合作探究球的体积的过程，感受旋转体的和谐之美，激发学习兴趣，培养协作、交流能力；

1

2）通过类比锥体、柱体得出球的体积，形成“用联系的观点看数学”的良好习惯；

3）通过研究球的性质，培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度. 四、教学重难点

重点：球的体积公式的推导；

难点：关于球的组合体的计算. 五、教学策略选择与设计

《球的体积》一课教学模式和策略设计旨在对素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究.本课采用开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略.具体方法如下：

1.讲授法：采用讲述、讲解和讲演结合的方式，引导学生发现并探索球的体积公式，对体积公式的推导进行细致分析与讲解. 2.演示法：教师通过多媒体课件和几何画板展示，让学生从图形中直观感知球体的几何特征. 3.练习法：通过及时提供相应例题，让学生学以致用，并在运用中加深理解，形成技能与技巧，培养了分析问题、解决问题的能力.

六、教学资源与工具设计

多媒体教室、几何画板演示课件、flash动画展示、PowerPoint幻灯片课件.

2

七、教学流程设计

课堂小结

活学活用

设计意图：系统回顾本节课所学知识，从定义、方法、数学思想三方面归纳，层层深入，达到了巩固新知，升华主题的画龙点睛之效.

学以致用

延伸拓展

设计意图：通过典型例题，帮助学生更好地掌握两类基本的关于球的组合体的计算问题．通过探究式教学法，使学生理解知识点的本质含义，采用小组合作的形式，引导学生自主思考.使知识点被学生自己掌握，而不是被教师灌输. 构建模型

实验探索

设计意图：根据已学过的祖暅原理，类比柱体和锥体的体积推导过程，利用模型探究证明方法，进而检验猜想，达到自主探究的目的.从几何直观和数形结合两方面入手，使学生的数学思维能力得到提高，感性认识升华为理性认识.

创设情境

提出问题

设计意图：从具体情境中提出“球的体积”，为学生学习创设情境，激发学生学习热情，自然而然的引入本节课，生动，形象，具体.

动手操作

提出猜想

抽象概括

设计意图：实验探究，老师引导，学生操作，体会球的体积的推导过程，恰当适宜的问题促进学生思考，循序渐进，小组讨论，引导学生分析图形，进而抽象概括，得到结论.利用几何画板，通过直观感知完善学生对球的体积的认识. 3

八、教学过程设计

教

学

过

程

教学环节

教学内容

【创设情境】

观看图片，提出以下问题: 教师活动

学生活动

设计意图

（一）

创

设

情

境

，

引

入

课

题

【引导】

生活中有很多球形的物体，怎样计算球的体积？

【回顾】

排水法：取一个盛有水的圆柱形容器，将小球完全没入水中，则排开的水的体积即为球的体积。

弊端：不适用于所有球体，且过程较繁琐

祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等

4

教师展示生活中常见的球形的物体，启发学生思考如何计算球的体积，进而引出本节课要学习的内容“球的体积公式的推导”

学生观看图片，聆听教师提问并进行思考. 从学生已有的生活经验出发，易于学生产生认知.

在《球的体积》这一节课的开始，设置这一与球体息息相关的情境，是为了激发学生学习的兴趣，同时让学生感受到生活中的数学文化，从而顺利引入新课.

回顾祖暅原理，引导学生思考如何探索三个旋转体的体积之间的关系。体会等体积法的证明过程。

学生分小组讨论，在教师的引导下，探究半球与圆柱、圆锥的体积之间的关系.

根据观察做出大胆的猜想.引导学生带着问题去做实验，思考探究，并步步启发学生自己探索，有利于数学的“再创造”学习.

（二）

动

手

操

作

，

提

出

猜

想

【实验】

取几个高与底面半径均为R的旋转体体积对比，发现

1 R3V圆锥V半球V圆柱R3

3

【猜想】

2V半球R3V圆柱V圆锥

3

（三）

构

建

模

型

，

实

验

探

究

【问题】

根据祖暅原理，我们如何构造模型？

【步骤】

1.给出如下几何模型：

通过几何画板展示动态图，

引导学生

分析几何体特征，进而抽象出平面图形，进一步证明猜想.

通过几何画板动画的演示，直观展现三个旋转体的大小，利于学生理解并获取知识.

2.拿出圆锥和圆柱

教师一步步引导学生思考如何构建模

3.将圆锥倒立放入圆柱

型.

4.取出半球和新的几何体作它们的截

面，截面图形分别为圆面和圆环.

5.计算并比较两个截面的面积

【学生板演】

5

学生跟随教师的讲解，回忆之前的相关知识，理清解决问题的思路.

通过引导学生根据祖暅原理，利用模型探究证明方法，进而检验猜想，达到自主探究的目的.

22圆面的半径rRh，圆环面的大圆

半径为R，小圆半径为h，因此

S圆r2R2h2

将学生分S圆环R2h2

为小组，每个小组即S圆S圆环

自行探根据祖暅原理，这两个几何体的体讨.教师积相等，即

在课堂巡11视各小组V球R2RR2R

进度. 23【实验操作】

将圆锥和半球形容器装满蓝色液

体，依次倒入圆柱形容器中

【结论】V半球V圆柱V圆锥

【公式】半径为R的球的体积为

4 VR3

3

【例1】

如图，圆柱的底面直径与高都等于球

的直径，求球的体积与圆柱体积之比.

教师引导学生从分析组合体的特点，

将立体图【学生解答】

形平面

分析：球内切于圆柱

化。

解：设球的半径为R

如果截面和平面的距离为h，那么

学生分小组讨论，并计算出两截面的面积.

从几何直观和数形结合两方面入手，使学生的数学思维能力得到提高，感性认识升华为理性认识.

学生认真观察组合体特点，在教师引导下积极思考，并形成解题思路.

将学生的解题思路由立体图形引导到平面图形上来，有利于培养学生的几何直观能力，同时也强调了数形结合的数学思想方法在解题过程中的强大作用.

6

（四）

学

以

致

用

，

延

伸

拓

展

43

RV球2

32

V圆柱R2R3

答：球与它的外切圆柱的体积之比为

2 : 3 .

【例2】

引导学生

如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长思考解题为a,它的各个顶点都在球O的球面上，突破口

问球O的体积.

【学生解答】

解：RtB1D1D中:

(2R)2a2(2a)2,得组织学生3分小组探Ra2究.展示43学生的解VR3a332题过程，3进行点答：球O的体积为a3.2

评，强调

需要注意【深入探究】

的地方

若正方体的棱长为a，则

（1）正方体的内切球直径＝

（2）正方体的外接球直径＝

（3）与正方体所有棱相切的球直径＝

思考讨论

学生分小组讨论发言.体会、思考并学会解决问题.

通过典型例题，帮助学生更好地掌握两类基本的关于球的组合体的计算问题．

通过深入探究，使学生理解知识点的本质含义.通过探究式教学法，采用小组合作的形式，引导学生自主思考.使知识点被学生自己掌握，而不是被教师灌输.

1.球体积公式的推导方法：分析-猜想-探究-验证-结论

7

通过精辟的小结，

(五）

课

堂

小

结

，

活

学

活

用

4加深学生对知识2.一个公式：半径为R的球的体积为VR3

点的理解. 33.两类问题：两个几何体相切和相接

【学以致用】已知地球的赤道长40075.24千米，能否求出地球

的体积？(假设地球是一个标准的球体）

体会数学在日常生活、科技领域的应用.

(六) 布

置

作

业

, 举

一

反

三

课本P28

1、2

课后探究：

教师深度★长方体的共顶点的三个侧面面积挖掘球体的性质，分别为3，5，15，求它的外接球的体启发学生深入思积. 考.

学生阅读问题，进行思考，尝试解决. 课后活动中，思维量逐步增加，设置“阶梯”让学生“攀爬”，从而培养了学生类比推理的思想和思维的发散性

九、教学反思

本节课是在学生学习了柱体和锥体的体积之后，因此在教学设计中，应注意充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构.时时与前两种几何体进行比较，不断复习学生已经理解和掌握了的祖暅原理求空间几何体的步骤.在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程. 为了突破本节课的难点——球的体积公式的推导.在教学设计中，注重设计三个活动：第一个活动让学生感受生活中的球体，激发学习的兴趣；第二个活动中，信息技术的有机融合在公式的推导过程中起到非常重要的作用，为学生的自主探究活动提供了空间载体，并能体会成功带来的喜悦；第三个活动中，几何画板为教师进行教学演示和学生的观察提供了平台。三个活动有机结合，协调发挥作用，不仅使学生加深了对祖暅原理的理解和应用，而且使课堂更加紧凑有序.让学生在探究问题的过程中既复习了数学知识，又培养了他们类比推理的数学思想，以上种种正好体现出新课程的新理念. 8

本课的设计，以问题为载体，以学生的动手实践、自主探索、合作交流为主要的学习方式.在教学过程中，实施开放式教学，创设民主、宽松的教学氛围，最大限度地调动学生的积极性，激发学生的学习兴趣。通过引导学生从多角度、多方位、多层次地思考问题，使他们有足够的机会展示个性。教师成为课堂问题的激发着、有序探究的组织者、学生错误的澄清者、多角度思考的促进者，使师生成为“数学学习的公共体”.

成功之处：本节课力图通过学生动手、动脑，从而诱发其内在的知识潜能，培养学生不断探索、不断创新的精神.具体特色有：

实验探究：通过信息技术展示实验，老师引导，学生操作，激发学生的求知欲.恰当适宜的问题促进学生思考，循序渐进，体会球的体积的推导过程。注重球的体积与柱体和锥体体积的推导过程中的联系，使学生建构起良好的“空间几何体的体积”知识模块，体现了数学的统一和谐之美. 类比推理：根据已学过的祖暅原理，类比柱体和锥体的体积推导过程，利用模型探究证明方法，进而检验猜想，达到自主探究的目的.从几何直观和数形结合两方面入手，使学生的数学思维能力得到提高，感性认识升华为理性认识. 过程开放：适度开放，利于思维发散、利于成果交流，利于反思提高，也利于培养能力.本节课的每个环节都尽量体现互动性特点，为学生创设自主学习的时间与空间；

形式多样：通过数学实验、合作学习、小组竞赛等多种形式创设情境，从而使学生的思维随课堂的节奏跌宕起伏，延伸发展；

注重学情：考虑到学生已经学习了柱体和锥体的体积公式，并且在祖暅原理的理解和应用上存在困难，本节课在球的体积公式的推导过程中，给学生充分的思考时间和操作空间，首先讨论学生易于接受的排水法的情况，然后讨论祖暅原理在求空间几何体的体积上的应用，充分体现了“学生根据自己的经验背景建构知识的意义”这一点. 不足之处：本节课教学预设比较充分，实际授课中教学节奏可能不够理想.从祖暅原理建立数学模型来求球的体积公式的推导过程中思维跨度比较大，学生接受起来可能会存在一定困难.

9