习题2.3优质课教案推荐

人教版必修2（高一下学期）

空间几何体中的平行与垂直

授课教师：藁城区第九中学

于蕴茹

一、

教材分析

这节课是在高一第二学期末的一节复习课，空间几何体中平行与垂直的判定与证明是立体几何部分的主体，是高考的必考内容。近年来，高考题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖多变，灵活性强．立体几何试题一般都是综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，全面考查线面关系

二、

教学目标

空间几何体中线与线、线与面、面与面间平行与垂直的判定与证明

三、

教学重点与难点

1、平行与垂直的证明

2、等价转化思想

四、学情分析

高一学生数学底子薄弱，空间想象能力很差，新课教学中寸步难行。知识的掌握需要反复强化，步骤的书写需要反复示范。但大部分学生学习态度端正，知难敢上。

针对学生的现状，我从近几年的高考题和模拟题中精选了几个有代表性的中低难度题，一来让学生认识本部分知识在高考中

的地位，二来让学生感受到高考题并不神秘，只要努力就能够得到。通过学生的观察、推理、想象的探索过程，发展学生的空间概念和推理能力。

五、教学过程

(一)牛刀小试,重温旧知: 1. (2017·辽宁六校联考)下列命题中错误的是( ) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内有且只有一条直线垂直于平面β

【解析】

对于A，若平面α⊥平面β，则在平面α内平行于交线的直线一定平行于平面β，故A正确；对于B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β一定垂直，故B正确；对于C，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，若l不垂直于平面γ，则在l上任取一点P，过P作直线m⊥γ，则m⊂α，m⊂β，所以α∩β＝m，因此l与m是同一条直线，即l⊥平面γ，故C正确；对于D，平面α内存在无数条直线垂直于平面β，故D错误．

【答案】

D

通过这个小题,回顾定理,解决垂直问题.考查学生的空间感. 2. (2016·石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊂α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β；

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中真命题的个数为(

) A.0 B.1 C.2 D．3 【解析】

①m∥n或m，n异面，故①错误；②根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知②正确；③m∥α或m⊂α，m∥β或m⊂β，故③错误；④根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知④错误，∴真命题的个数为1，故选B. 【答案】

B 小结:长(正)方体、三棱柱、三棱锥等常见几何体模型承载着空间线面位置关系，具有很好的验证功能，在客观性试题中用好模型，会事半功倍．

(二) 识图通性,重点突出: 例1. (2016·洛阳调研)如图，VA⊥平面ABC，△ABC的外接圆是以边AB的中点为圆心的圆，点M、N、P分别为棱VA、VC、VB的中点，则下列结论正确的是________(把正确结论的序号都填上)．

①MN∥平面ABC；

②OC⊥平面VAC；

③MN与BC所成的角为60°；

④MN⊥OP；

⑤平面VAC⊥平面VBC. 【解析】

对于①，因为点M、N分别为棱VA、VC的中点，

所以MN∥AC，又MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC，所以①正确；

对于②，假设OC⊥平面VAC，则OC⊥AC，因为AB是圆的直径，所以BC⊥AC，矛盾，所以②是不正确的；

对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN与BC所成的角为90°，所以③是不正确的；

对于④，易得OP∥VA，又VA⊥MN，所以MN⊥OP，所以④正确的；

对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，

又BC⊥AC，且AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，

又BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，所以⑤是正确的．

综上，应填①④⑤.

【答案】

①④⑤

【回顾】

破解此类问题需：(1)认真审题，并细观所给的图形，利用空间直线、平面平行与垂直的判定定理和性质定理求解；(2)懂得转化，即把面面关系问题转化为线面关系问题，再把线面关系问题转化为线线关系问题，通过转化，把问题简单化，问题的解决也就水到渠成了．

识图通性考察的是综合能力，对于各个定义、判定定理、性质定理一定要做到了然于胸．

(三)直通高考,感悟再现: 例2 (2014·山东文)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC1＝AD，E，F分别为线段AD，PC2的中点．

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：BE⊥平面PAC. 【证明】

(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC. 1由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，

2所以AE∥BC，AE＝AB＝BC. 因此四边形ABCE为菱形．

所以O为AC的中点．

又F为PC的中点，

因此在△PAC中，可得AP∥OF.

又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，

所以AP∥平面BEF. (2)由题意知ED∥BC，ED＝BC. 所以四边形BCDE为平行四边形．

因此BE∥CD.

又AP⊥平面PCD，

所以AP⊥CD.因此AP⊥BE.

因为四边形ABCE为菱形，

所以BE⊥AC.

又AP∩AC＝A，AP⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BE⊥平面PAC. 注意:通过讲解,再次体会平行与此垂直的应用,之间的转化. (四).本课总结: 1．平行问题的转化关系：

2．直线与平面平行的重要判定方法：

①定义法；②判定定理；③面与面的平行性质．

3．平面与平面平行的主要判定方法：

①定义法；②判定定理；③推论；④a⊥α，a⊥βα∥β.各种关系能相互转化，特别要关注转化所需条件是什么．

4．判定直线与平面垂直的常用方法．

(1)利用线面垂直的定义：若一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面．

(2)利用线面垂直的判定定理：若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直．

(3)用线面垂直的性质：若两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面. (4)用面面平行的性质定理：若一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面．

(5)用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．

(6)用面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平面，则两平面的交线垂直于第三个平面．

5．可以考虑向量的工具性作用，能用向量的尽可能应用向量解决，可使问题简化．

(六).课后巩固,强化练习: 1.(2016·福州调研)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是(

) A．|BM|是定值

B．点M在某个球面上运动

C．存在某个位置，使DE⊥A1C D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE

1【解析】

取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝2A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE，由余弦定理可得MB＝MF＋FB－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得选项A，B正确．由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得选项D正确；A1C在平面ABCD中的射影与AC重合，AC与DE不垂直，可得选项C不正确．故选C. 【答案】

C 2．(2016·新课标全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 答案

②③④

解析

对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：

如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．

命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相222

交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．

由平面与平面平行的定义知命题③正确．

由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．

（六）、合作探究

引导学生探究：两条直线垂直的判定

（七）、课堂小结

布置作业

六、教学评价

本节课我本着开放的原则，引导学生从身边的熟悉的情境出发，明确学习任务，解决学习任务。首尾呼应，通过课堂的开放，可以使学生们在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学，给学生一个充分展示自己的舞台，在活动中提高与人合作的能力，激发学生的潜能，使学生成为课堂的主人。

不过仍然有同学由于基础太差，跟不上课堂的节奏，对于这一部分同学，下课要加以关注，加强习题训练。

七、

教学板书

空间几何体中的平行与垂直 1、牛刀小试 3直通高考

习题

2、识图通性

例题 小结: