复习参考题教案和学案内容

高一数学微专题复习——直线方程几种形式的选择教学设计

成都市铁路中学校

朱晨

教材分析：

本堂课是一节高一数学微专题复习课，内容为人教A版必修二3.2直线方程几种形式的选择。

作为平面解析几何的起始，具有承上启下的作用。以直线作为研究对象，通过引进坐标系，借助“数形结合”思想，从方程的角度来研究直线。“解析法”思想始终贯穿，同时“转化、讨论”思想也相映其中。数形结合是本模块重要的数学思想，这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性和“数”的严谨性。

学情分析：

在初中，学生已经熟练掌握了形如y=kx+b形式的直线方程。通过直线方程几种形式的新课学习，学生进一步了解了几种方程的来源以及它们之间的联系，会选择适当的方程形式解决有关直线的一些基本问题。但直线方程的形式多样，不少学生仍然死记硬背，机械模仿，导致在解题中往往碰壁而影响了学习兴趣及积极性。另外，尽管用代数方法研究几何思路清晰，可以充分运用各种公式解题，解题方法自然。但是，代数方法一个弱点是“运算量大，解题过程繁琐，结果容易出错”等等，无疑也影响了解题的质量及效率。

教学目标：

（1）进一步理解直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式——五种形式特点和局限；

（2）能正确利用五种形式的公式求直线方程；并能选择适当形式的方程求解实际问题，优化求解过程；

（3）进一步渗透数形结合的思想；并通过与最值问题结合、一题多解最优讨论以及开放设问等，增强知识的系统性、提高提出问题解决问题的能力、培养思维的广深度和创新性，从而提升数学核心素养。

教学重难点：

重点：1、五种形式直线方程的特点与局限；

2、适当选择正确使用五种形式的直线方程。

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难点：选择适当形式，优化解答

教学设计思路：

本堂课是直线的方程的复习课。主要内容分成三大部分：基础过关——易错突破——优化求解。重在让学生熟练掌握每一种形式的方程的使用，突破由于方程的局限性造成的易错点，从多种方程形式中优化选择，提高解题的效率，最后通过开放式设问，培养学生的创新意识，综合应用知识的能力。

教学辅助：

PPT、投影、几何画板

教学模式：

本节课主要采用五星网状教学模式，由启动——建构——强化——运用——反思五个小环节展开。

教学过程：

一、启动：（复习直线五种形式的方程，注意适用范围和选择条件，引出主要复习目标——学会选择适当形式的方程求解直线问题。）

求解直线方程问题的思维导图

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直线方程的五种形式

名称

方

程

图示

适用范围

选择条件

点P(x0，y0)点斜式

yy0kxx0

斜率存在

和斜率k

斜率k和直线在y轴上斜截式

ykxb

斜率存在

的截距b

P1(x1，y1)，两点式

yy1xx1y2y1x2x1(x1≠x2，y1≠y2) 斜率存在且不为0

P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2

在x，y轴截距式

xy1

ab斜率存在且不上的截距(a≠0，b≠0)

AxByC0y 为0，不过原点

分别为a，b且a≠0，b≠0

求直线方平面直角坐标程的最后结果均可以化为一般式方程

一般式

(A2B20)

系内的直线都O x 适用

在求直线方程时，最后结果要用一般式表示。但在开始设直线方程时选用点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式中的哪一种好呢，则要根据题设和结论的关系进行选择。

二、建构（引导学生归纳构建直线方程选择的基本策略）

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1，根据条件选择相应的方程形式

问题：已知直线l过P3,2，分别求出满足下列条件的直线l的方程：

（1）倾斜角是直线x3y30的倾斜角的2倍; （2）与直线3x＋4y－12＝0垂直; （3）过直线l1：x+2y+1=0与直线：l2：2x-y+1=0的交点. 生1：展示并讲解解答过程。

全体学生评判正误

教师根据师根据生1的情况补充：

（2）设平行直线系方程：4x-3y+C=0，将P3,2代入直线方程求出C=-6，进而直线方程为4x-3y-6=0 （3）因为P3,2不满足l2方程，所以设交点直线系方程x+2y+1+λ（2x-y+1）=0 P3,2代入直线方程解得λ，进而得直线方程为11x-18y+3=0 2，选择时应注意方程的局限性

例1.过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．

生2：展示并讲解解答过程。（有可能缺少讨论忽略斜率不存在的情况）

全体学生评判正误

解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，

所以点A在圆外．

1）若所求直线的斜率存在，

则设切线方程为y＋3＝k(x－4)，

即kx－y－4k－3＝0. 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，

|3k－1－3－4k|2所以＝1，即|k＋4|＝k＋1，

k2＋115所以k＋8k＋16＝k＋1，解得k＝－8. 221515所以切线方程为－8x－y＋2－3＝0，

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即15x＋8y－36＝0. 2）若直线斜率不存在，

圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，

这时直线x＝4与圆相切，

所以另一条切线方程为x＝4. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0 或x＝4. 设计意图：突出易错点1：点斜式方程斜率必须存在。求解过一点的直线一般设点斜式方程。但由于点斜式方程的斜率必须存在的局限性，要注意讨论斜率不存在时，是否满足题意。

例2.已知直线l在两坐标轴上截距相等，且点A(3,1)到直线的距离为2，求直线l的方程．

生3：展示并讲解解答过程。（有可能缺少讨论忽略截距为零的情况）

全体学生评判正误

解：1）当直线过原点时，

设直线的方程为y＝kx，

即kx－y＝0. 由题意知|3k－1|＝2，

2k＋11解得k＝1或k＝－7. 所以所求直线的方程为x－y＝0 或x＋7y＝0. 2）当直线不经过原点时，

xy设所求直线的方程为a＋a＝1，

即x＋y－a＝0. |3＋1－a|由题意知＝2，

2解得a＝2或a＝6.

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所以所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0 或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 设计意图：突出易错点2：截距相等包括截距都为零。而截距式有局限性，截距不为零。所以解答时要特别求出截距为零时的方程和截距不为零时的截距方程。

师生共同总结直线方程几种形式的选择策略：

1、指向明确相应形式

2、注意弥补局限性

三、强化：（通过跟踪训练强化直线方程的选择策略）. 跟踪训练1

已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值和两直线方程. 生4：展示并讲解解答过程。

全体学生评判正误

3a－0解

l1的斜率k1＝＝a，

1－－21）当a≠0时，l2的斜率k2＝－2a－－11－2a＝a. a－01－2a∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即a·a＝－1，得a＝1. 此时l1：x-y+2=0，l2：x+y+1=0

2）当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，

这时直线l2为y轴，

A(－2,0)、B(1,0)，

这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2. 此时l1：y=0，l2：x=0 优化解法：l1⊥l2∴AB•CD=0

跟踪训练2

已知直线l过点（-4，-1），且横截距是纵截距的两倍，求直线l的一般方程. 生5：展示并讲解解答过程。

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全体学生评判正误

解：1)当直线的截距均为0时，

满足题意，直线过原点（0，0）

设y=kx, 则-1=-4k. 因此直线方程为x-4y=0 2)当直线的截距不为0时，

设则xy+=1

2bb-4-1+=1，

2bb解得b=-3 则直线l方程为x+2y+6=0 综上直线l方程为x-4y=0 或x+2y+6=0

四、运用：直线方程几种形式综合优选（通过综合问题，培养学生灵活运用优化选择直线方程的能力）

例3.过点P(2，1)作直线l，分别交

x，y

正半轴于

A，B 两点，

当|PA|·|PB| 取得最小值时，

求直线

l 的方程. 3

学生自由发言并展示解法，师生共同点评。

法1：直线方程选用点斜式，

2B21P(2,1)2A4681012设直线

l：y－1＝k（x－2）（k＜0）

当y=0时，x=3-1-1+2，则A(+2,0)；当x=0时，y=1-2k，则B(0,1-2k)；

kk-12222+（1-2k-1）则|PA|=（+2-2），|PB|=（0-2）

+（0-1）k

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-12222+（1-2k-1）|PA|·|PB|=（0-2）

（+2-2）+（0-1）k=(4+4k2)•(11122≥22•k+2=4

=+1)2+k+2222kkk当且仅当1=k2，即k2=1，k=±1

2k又k<0，所以k=-1，

直线方程为：x+y-3=0 xy21法2：直线方程选用截距式，设直线方程为：+=1则+=1

ababA(a,0)，B(0,b)，b=a

a-22222+（0-1）|PA|=（a-2）|PB|=（0-2）+（b-1）=4+（a42

-1）=4+a-2(a-2)22+1PA|·|PB|=（a-2）4+142=2+（a-2）+222（a-2）(a-2)≥2212（•a-2）+2=4

2（a-2）122=（a-2），即（a-2）=1，（a-2）=±1

当且仅当2（a-2）又a>0，所以a=3,b=3 直线方程为：x+y-3=0 法3：设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b(a>0,b>0) 则A(a，0)，B(0，b)PA=

（a-2，-1）,PB=（-2，b-1）则PA•PB=-2a-b+5

又PA•PB=PAPBcosπ

所以|PA||PB|=-PA•PB=2a+b-5

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212b2a又2a+b=(2a+b)(+)=4+++1

abab≥5+22b2a×=5+4=9

ab2b2a=,即a2=b2时取得

ab当且仅当21又+=1，a>0,b>0 ab所以a=b=3 直线方程为：x+y-3=0 法4：设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b(a>0,b>0) 则A(a，0)，B(0，b)AP=

（2-a，1）,PB=（-2，b-1）AP,PB共线，∴AP=λPB (λ>0)

a=2+2λ2-a=-2λ1

∴{∴{b=1+1=λ(b-1)λ11∴PAPB=4λ+≥24λ•=4

λλ11当且仅当4λ=，即λ=

λ2此时a=b=3 直线方程为：x+y-3=0 πBAO=θ(0<θ<),过点P作PE⊥x轴于E，

法5：设∠2作PF⊥y轴于F |PE||PF|∴=sinθ,=cosθ

|AP||BP|又|PE|=1,|PF|=2 ∴AP•BP=24=

sinθcosθsin2θπ当sinθ=1,θ=时

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原式取得最小值，此时k=-1 直线方程为：x+y-3=0 设计意图：在解决有关问题时，

我们尽可能地从不同的角度进行解决，一题多解，发散解题思维。同时要注重解题方法的优选，提高解题的效率。

跟踪训练3过点P(2，1)作直线l，分别交x，y 正半轴于A、B两点，＿＿＿＿＿＿＿＿（你认为添加什么条件？），求直线l的方程. 3

学生自由发言并展示解法，师生共同点评。

预设1：给定斜率

k

＝2或倾斜角α ＝60°

2B21P(2,1)2A46812或给定一点P（－1，2）等。

预设2：点P是线段AB的中点或三等分点等。

预设3：给出△OAB的周长。

预设4：给出△OAB的面积。

预设5：给出|OA| + |OB|值。

3设计意图：开放式设问，培养学生的创新意识，也是求解直线的方程题型的总结和综合运用。

五、反思

师生共同总结：选择直线方程的形式要结合题中的已知条件和方程的适用范围（局限性）。当几种形式均可时，根据求解过程，优化选择方程。

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