复习参考题课堂实录

直线与方程复习课教案

嘉兴市第五高级中学 郑

媛

本节内容选自：新课程标准教材人教版《数学》必修②第三章直线与方程．

一、教学背景

1．教学内容分析

在解析几何中，直线是最简单的曲线，方程的形式也较为简单，相关的位置关系也是学生在初中已经获得的认知．因此，在本次的复习过程中，主要是能感知确定直线的几何要素，建立直线方程，通过直线方程，研究直线间的位置关系、两直线的交点坐标、点到直线的距离，以及与此相关的一些问题，体会数形结合的思想．

解析几何是17世纪数学发展的重大成果，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，主要的方法是坐标法，也是解几最基本的研究方法．因此，通过本次的复习，逐步培养学生将几何问题代数化，通过处理代数问题，分析代数结果的几何意义，解决几何问题的思想方法，初步形成用代数方法解决几何问题的能力，为后面圆锥曲线的学习打下基础．

在解析几何教学中，主要涉及的核心素养有数学运算、逻辑推理、直观想象．因此，在解几中应逐步关注核心素养的落实，尤其是数学运算能力的提升．复习中借自主探究、自我感悟，能结合题意制定合理的运算程序，逐步提升学生分析问题、解决问题的综合能力．

2．学情分析

学习完本章后对直线与方程有一定的知识基础，能根据条件选择适合的直线方程形式求直线方程，但在直线方程的选择运用中会遗漏直线方程的适用条件，分类讨论的思想意识薄弱；对两直线位置关系的判断、两直线的交点、点到线的距离公式有一定的认知，但没有从章节的角度对整个直线方程体系建构完整的知识体系；有初步代数法解决几何问题的思想，但在综合应用方面，如数形结合思想、转化化归思想的应用相对较弱；学生计算能力较弱，如何设参巧解几何问题等，有待通过学习进一步提高．

二、教学目标

1．课标要求分析

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握两点的直线斜率的计算公式．

（3）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．

1

（4）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式．

（5）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．

（6）探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到线的距离公式、会求两平行线间的距离．

2．教学目标分析

（1）通过问题1，探索平面内确定一条直线所需要的几何元素，能选择适当的直线方程的形式求出直线方程；通过书本A组练习1、B组练习1感悟直线的两大基本要素是定点、斜率，感知点斜式、两点式是直线方程的基本形式，奠基解几的基础．

（2）通过书本A组练习5、6，梳理本章中两条直线平行与垂直的位置关系、两条直线的交点、点到线的距离等知识点，构建本章的知识网络；能利用直线方程判定两直线的位置关系，求两直线的交点坐标、平行线间的距离等几何问题，感知直线的斜率可以判定直线的位置关系，两直线方程可以求交点坐标，渗透数形结合的思想，掌握代数法解决几何问题的基本方法，为后面圆锥曲线的学习打好基础．

（3）通过书本B组练习8，掌握如何利用直线方程解决相应的几何问题，基于自我探究感悟解几中设点与设线的区别与联系，能结合条件制定合理的运算程序，逐步落实运算素养，提升分析问题、解决问题的综合能力；

3．教学重、难点分析

教学重点：（1）理解点、斜率是直线方程最基本的要素，感知点斜式是直线方程最基本的形式；（2）掌握利用直线方程研究直线相应的几何性质，逐步培养用代数法解决几何问题的意识；（3）渗透数形结合、转化化归的数学思想；

教学难点：（1）由特殊到一般感知过定点的直线系方程的设法、与直线AxByC

平行、垂直的直线系方程的设法；（2）能利用直线方程解决相应的几何0(A2B20）问题，感知解几中设点法与设线法的区别与联系，能合理地选择运算程序；（3）数形结合、转化化归数学思想的渗透；

三、教学方法

1．教法分析 本节在内容的安排上有明暗两条线，明线是围绕直线的两个基本要素定点、斜率展开教学，能利用找点、斜率求出直线方程，感知点斜式是直线方程最基本的形式；反之，能利用斜率判断直线的位置关系，直线方程解决相应的几何问题，通过直线方程的学习为解几作好

2

奠基，注重代数方法的使用及数形结合、转化化归数学思想的渗透；暗线是遵循数学探究问题的一般规律，由特殊到一般，由定到动，探究直线系方程的表示，符合学生的认知规律，便于学生感知理解；其次，从正、逆两方面诠释数学概念，如从数形两方面探究了直线与方程间联系，加深了学生对数学概念的深入理解．

2．学法分析 在教师的指导下，通过几何画板的动态演示，学生认真观察，积极思考，感悟直线的两个基本要素是定点、斜率；通过具体的练习，掌握如何利用直线方程研究直线所具有的几何性质，解决相关的几何问题；再由特殊到一般，通过教师引导、学生自主归纳得出过定点的直线系方程的设法、与直线AxByC0(A2B20）平行、垂直的直线系方程的设法；最后通过探索问题，由学生自我体验感悟解几中设点、设线两种基本方法，感知设点与设线的区别与联系，能合理地选择运算程序．

3．教学用具分析 多媒体(几何画板、PPT）辅助教学、部分教学过程借助黑板．

4．教学过程分析

教学环节

环节一：构建知识网络

奠基解几基础

考点1：直线及其方程

1.

复习回顾直线方程的五种形式及其适用条件．

直线方程的五种形式

名

称

斜截式

点斜式

方程

适用条件

斜率存在

斜率存在

与坐标轴均不垂直的直线

不过原点且与坐标轴均不垂直的直线

所有直线

设计意图

先回顾直线方程的五种形式，然后通过问题1，感知平面内确定一条直线所需的元素，感悟点、斜是直线的最基本要素；

y=kxb

yy0k(xx0)

yy1xx1y2y1x2x1

(x1x2,y1y2)xy1

ab两点式

截距式

一般式

AxByC0(A2B20)

3

2.

问题1：已知点A(2,-1),

,请你加一个条件，确定一条过点A的直线，并求出直线方程. （1）加点B(1,1)，由两点式可得直线方程为：即：2xy50；

（2）加斜率y1x2,

111211，由点斜式可得直线方程为：y1(x2)，

33即：x3y50；

（3）加直线的纵截距为3，由截距式可得直线方程为：xy

a31，即：2xy30；

小结：过一个定点的直线有无数条，通过加点、加斜率等可知，两大要素可确定一条直线，其中点、斜是直线方程最基本的两大要素，再选择适当的直线方程形式便可求出直线方程.

3.

练习：书本P114

A组1、B组1 练习1：已知O(0,0)，A(8,0)，B(0，为矩形的三个顶点，求矩5）形的两条对角线所在的直线方程.

解：方法一（找点）

由矩形的性质，可得C点坐标为8，5，通过两点式可得：

y5x8，即：5x8y0;

0508y5x0lBC:,即：5x8y400.

0580loc:解：方法二（找斜率）

两对角线的倾斜角互补；

kAB;kOC

loc:y0585，通过点斜式可得：

85(x0),即：5x8y0;

85lBC:y5(x0)，即：5x8y400.

8

4

通过练习进一步感知点、斜率是直线最基本的要素；点斜式、两点式是直线方程五种形式中最基本的两种形式，为过定点直线系方程的设法作铺垫；

练习2：与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程.

解：方法一（找点）

5（-，0），直线上取点1，2关于x轴

直线与x轴的交点坐标为3的对称点为1，-2；

5y03，

由两点式可得：20153x即直线方程为：3x4y50. 解：方法二（找斜率）

直线关于x轴对称

斜率互为相反数

（-，0）又直线与x轴的交点坐标为，

53

35

由点斜式可得：y0(x)，

43

即直线方程为：3x4y50.

小结：（1）点、斜率是直线最基本的要素，因此，点斜式是直

线方程五种形式中最基本的形式；（2）这里点指的是直线上定点，

大致确定了直线的位置，斜率则反应了直线相对于x轴的倾斜程度.

遵循由特殊到一4. 思考：过定点A的直线系方程可设为？

般的认知规律，从点、过定点A的直线系方程可设为：y1k(x-2)或x2；

斜两直线的基本要素出发，让学生自我感小结：（1）过定点直线系的特点是过定点，可设点斜式，以斜悟得到过定点直线系率k为参数来表示过定点倾斜程度不同的直线；（2）斜率k反应了的设法，符合认知规律，便于学生理解；

直线相对于x轴的倾斜程度，由此，我们可以利用斜率来判定两直线

的位置关系.

考点2：两直线的位置关系

1.

复习回顾两直线位置关系的判断

5

两直线平行与垂直的判定

方程

位置

平行

重合

相交

垂直

2.

练习：书本P114

A组5、6 练习5：若下列各组中的两个方程表示的直线平行，a应取什么值？

（1）ax5y9,2x3y15;

（2）x2ay10,(3a1)xay10;

（3）2x3ya,4x6y30;

结合直线斜率复***行与垂直判定的充要条件；

通过练习5进一步体会两直线平行的充要条件；明确了两平行线间可利用直线方程计算出两平行线间的距离；最后，由特殊到一般，让学生归纳总结了与直线AxByC0(A2+B20)l1:yk1xb1l2:yk2xb2

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20k1k2且b1b2

k1k2且b1b2

A1B2A2B1且A1C2A2C1

A1B2A2B1且A1C2A2C1

k1k2

k1k21

A1B2A2B1

A1A2B1B20

平行的直线系方程的设法，符合学生的认10解：（1）3a10且15a18

a；

知规律；

3

1（2）a2a(3a1)且13a1

a0或a；

6

3（3）13a1

a；

2通过练习6进一思考1：若两直线平行可进一步研究两平行直线间的什么问题？

步体会两直线垂直的充要条件；明确了两求上题（1）中两平行直线间的距离为？

相交直线可利用直线10x5y90;l2:2x3y150

解：l1:方程计算出两相交线3的交点；最后，由特

l1:10x15y270;l2:2x3y150

殊到一般，再类比平行系直线的设法，学270;l2:2x3y150

l1:2x3y生归纳总结了与直线5AxByC0(A2+B20)15d2748135. 65496 垂直的直线系方程的设法，符合学生的认知规律；

线系方程可设为？

解：直线系方程可设为：AxByC10.

直线平行与垂直的判定可通过直线的

斜截式判断，也可以练习6：若下列各组中的两个方程表示的直线垂直，a应取什么通过直线的一般式判断，但要注意斜截式值？

判断的前提条件是斜率必须存在，应结合（1）4axy1,(1a)xy1;

斜率是否存在进行分类讨论，这是学生的（2）2xay20,ax2y1;

易错点，通过练习结合学情可进一步辨（3）2xy20,ax4y20；

析；

12

解：（1）4a(1a)10

a；

2

（2）2a2a0

a0；

（3）2a40

a2；

通过书本练习练习6进一步让学思考1：若两直线相交可进一步研究两相交直线间的什么问题？

5、生感悟如何利用直线求上题（3）中两相交直线的交点坐标？

方程来研究直线的几何性质，体会数形结2xy20x1解：

；

合的思想；

2x4y20y0

思考2：与直线AxByC0（A、B不同时为0）垂直的直

线系方程可设为？

解：直线系方程可设为：BxAyC10.

小结：（1）利用直线方程可判断直线的位置关系，研究相应的

几何性质，如平行线的距离、相交线的交点问题等；（2）由平行线

间的斜率关系可得出与某直线平行或垂直的直线系方程的设法，可简

化解题；

课后让学生进一3.（课后拓展练习）书本P114

A组11、B组3 步感悟直线系方程在

解题中的应用；

思考2：与直线AxByC0（A、B不同时为0）平行的直

7

环节二：综合应用，巩固提升

1.探究性问题（书P115 B组8）：过点P(3,0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2xy20与l2:xy30之间的线段恰好被点P平分，求直线l的方程；

解：方法一（设过点P的直线方程）

①斜率不存在，显然不符合题意，舍去；

②若斜率存在，则直线方程为：yk(x3)（k1且k2）

与l1交点的横坐标为x123k；与l2交点的横坐标为：

2kx23(k1)；

1k23k3(k1)6，得：k8，即：8xy240；

2-k1k

方法二（设直线的交点A、B点坐标）

设A(x1,2x12)、Bx2,x23

x1x261116716，即：A,、B,

33332x1x25由两点式可得直线方程为：8xy240

方法三：设交点A的坐标，利用中点P求出另一交点，代入直线方程求出点A的坐标，由两点式求出直线方程（类似方法二）；

方法四：按照题意补成平行四边形OABD,可由平行四边形的性质求出各点坐标，结合两点式求出直线方程；

小结：（1）由直线过定点P，则可用点斜式设直线方程，以斜率为参数，再由中点坐标公式得出斜率，从直线方程的角度考虑问题；由点是线的基本元素，两直线方程知交点坐标，则可设交点坐标由中点坐标公式求出交点，再由两点式求出直线方程；（2）感知设点法、设线法是解几中比较重要的两种思想方法，以及两者的区别与联系，能结合题意选则适合的设法解决问题；

2．

课后拓展练习

8

掌握如何利用代数法解决相应的几何问题；基于学生的探究感悟解析几何中两个最基本的方法：设点法与设线法，感知两种方法的区别与联系，能结合条件制定合理的运算程序，提升分析问题、解决问题综合能力的提高；

变式1：直线l被两直线l1:4xy60;l2:3x5y60截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方程. 变式2：过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x3y10与截得的线段长AB2，求直线l的方程.

借助课后的变式练习可进一步让学生感知解几中设线与设点的区别与联系，提升运算能力，为下一节复习课作好铺垫，如如何选择设点还是设线，如何设而不求求直线方程等，理解代数结果所代表的几何意义等，借直线方程有效地提升学生的运算能力，为后面圆锥曲线的学习打下基石；

环节三

课堂小结

1.

两个基本元素：点、斜；感知直线的两个基本要素点、斜，能利用点斜式可以求出直线方程；能结合斜率判定两直线的位置关系，利用直线方程解决两平行线间的距离、两相交线的交点等相关问题；

2.

两个数学方法：设参法、坐标法；在求直线方程的过程中可利用设点及设线的方法解决相关的问题，体现了数学中的设参的思想方法；在利用直线方程研究直线几何性质的过程中主要应用了用代数法解决几何问题的方法，体现了解几中最基本的坐标法的思想方法；

3.

两个数学思想：数形结合的思想、转化化归的思想；一方面能结合直线的几何要素求出直线方程，也就是直线的代数形式，另一方面能利用直线方程，研究直线的几何性质，体现了数形结合的思想；在解决问题的过程中也体现了转化与化归数学思想的应用；

从基本知识、数学方法、数学思想三方面进行小结，建构知识网络；注重坐标法在解决几何问题中的应用，为后面圆锥曲线的学习打下基础；注重数形结合、转化化归的数学思想在整个教学中的渗透，提升学生的数学素养；

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