1.1.1 命题教学设计方案

§1.1

命题及其关系

1.1.1

命

题

学习目标

1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.能把命题改写成“若p，则q”的形式．

知识点一

命题的概念

思考

下列语句有什么共同特征？

①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；

②3＋6＝7；

③偶函数的图象关于y轴对称；

④5能被4整除．

答案

(1)都是陈述句；(2)都能够判断真假．

梳理

(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．

真命题：判断为真的语句.(2)分类：

假命题：判断为假的语句.

特别提醒：(1)判断一个语句是否为命题的两个要素：

①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；

②可以判断真假．

(2)真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

知识点二

命题的形式

命题的一般形式为“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

1．并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题．(

√

) 2．一个命题不是真命题就是假命题．(

√

) 3．有的命题只有结论没有条件．(

×

)

类型一

命题的概念

例1

下列语句：

(1)2是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图象太美了！(8)4是集合{1,2,3}中的元素．

其中是命题的是________．(填序号) 考点

命题的概念及分类

题点

命题概念的理解

答案

(1)(3)(5)(8) 解析

本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假．(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，不是陈述句；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题．故答案为(1)(3)(5)(8)．

反思与感悟

判断一个语句是否是命题的三个关键点

(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．

(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．

(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．

跟踪训练1

下列语句：

1①3>2；②作射线AB；③sin 30°＝；④x2－1＝0有一个根是－1；⑤x<1. 2其中是命题的是(

) A．①②③

B．①③④

C．③

考点

命题的概念及分类

题点

命题概念的理解

答案

B D．②⑤

解析

②是祈使句，故不是命题，⑤无法判断真假，故不是命题．

类型二

命题的真假判断

例2

给定下列命题：

①若a>b，则2a>2b；

②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；

π③直线x＝是函数y＝sin x的一条对称轴；

2→→④在△ABC中，若AB·BC>0，则△ABC是钝角三角形．

其中为真命题的是________．

考点

命题的真假判断

题点

命题真假的判断

答案

①③④

π解析

结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；而函数y＝sin x的对称轴方程为x＝＋kπ，2→→→→→→k∈Z，故③为真命题；又因为AB·BC＝|AB||BC|cos(π－B)＝－|AB||BC|cos B>0，故得cos B<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．

反思与感悟

一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．

跟踪训练2

下列命题中为真命题的是(

) A．若ax＝b，则x＝logab

B．若向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c

C．已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列

D．在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足acos B＝bcos A，则该三角形为等腰三角形

考点

命题的真假判断

题点

命题真假的判断

答案

D 解析

对于A，需a>0，且a≠1；对于B，若b＝0，其结论不成立；对于C，若数列an＝0，则结论不成立．

类型三

命题的结构形式

例3

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)6是12和18的公约数；

(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. 考点

命题的概念及分类

题点

命题的结构

解

(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．

(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．

(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．

(4)已知x，y是非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．

反思与感悟

把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐晦，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．

跟踪训练3

已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是_____________________________________________________，

q是________________________________________________________________________．

考点

命题的概念及分类

题点

命题的结构

答案

一条直线是弦的垂直平分线

这条直线经过圆心且平分弦所对的弧

解析

已知中的命题改为“若p，则q”的形式为“若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧”，

p：一条直线是弦的垂直平分线；

q：这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.

1．下列语句是命题的为(

) A．x－1＝0 B．他还年轻

C．20－5×3＝10 D．在2020年前，将有人登上火星

考点

命题的概念及分类

题点

命题概念的理解

答案

C 解析

对于A，不能判断其真假，不构成命题，故A错误；

对于B，因为不能判断真假，故B不正确；

对于C，能判断其真假，构成命题，故C正确；

对于D，不能判定真假，不构成命题，故D错误．故选C. 2．有下列命题：

①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．

其中真命题共有(

) A．0个

C．2个

考点

命题的概念及分类

题点

命题真假性判断

答案

B 解析

①由xy＝0得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不一定成立，是假命题；②当a>b时，有a＋c>b＋c成立，正确，所以是真命题；③矩形的对角线不一定互相垂直，不正确，是假命题．

3．下列说法正确的是(

) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”

B．语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题

C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题

B．1个

D．3个

D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题

考点

命题的概念及分类

题点

命题真假性判断

答案

D 解析

对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若两个角都是直角，则这两个角相等”；B所给语句不是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D. 4．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”改写成“若p，则q”的形式：____________________. 考点

命题的概念及分类

题点

命题的结构

答案

若x＝2，则x2－3x＋2＝0 5．若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是_________．

考点

命题的概念及分类

题点

由命题的真假求参数的取值范围

9答案

a<且a≠0 82Δ＝－3－4×2a>0，解析

由题意知

a≠0，

9解得a<且a≠0. 8

1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.

一、选择题

1．下列语句为命题的是(

) A．2x＋5≥0

B．求证对顶角相等

C．0不是偶数

D．今天心情真好啊

考点

命题的概念及分类

题点

命题概念的理解

答案

C 解析

结合命题的定义知C为命题．

2．下列语句中是命题的为(

) ①空集是任何集合的子集；

②若x>1，则x>2；

③3比1大吗？

④若平面上两条直线不相交，则它们平行；

⑤－22＝－2；

⑥x>15. A．①②⑥

B．①②④

C．①④⑤

D．①②④⑤

考点

命题的概念及分类

题点

命题概念的理解

答案

D 解析

根据命题的定义可知①②④⑤是命题．

3．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是(

A．两个平面

B．一条直线

C．垂直

D．两个平面垂直于同一条直线

考点

命题的概念及分类

)

题点

命题的结构

答案

D 解析

所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D. 4．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，若该命题为真命题，则a的一个值可以是(

) A．4

C．0

考点

命题的概念及分类

题点

由命题的真假求参数的取值范围

答案

C 解析

方程无实数根时，应满足Δ＝a2－4<0，故当a＝0时符合条件．

5．下列命题为真命题的是(

) 11A．若＝，则x＝y

xyB．若x2＝1，则x＝1 C．若x＝y，则x＝y

D．若x

考点

命题的概念及分类

题点

命题真假性判断

答案

A 解析

A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A. 6．对于任意实数a，b，c，d，有下列命题：

①若a>b，c≠0，则ac>bc；

②若ac2>bc2，则a>b；

11③若a>b，则<；

ab④若a>b>0，c>d，则ac>bd. 其中真命题的个数是(

) A．1

B．2 B．2 D．－3

C．3

考点

命题的概念及分类

题点

命题真假性判断

答案

A D．4 解析

当c<0时，①错误；ac2>bc2，显然c2>0，因此②正确；当a>0>b时，③错误；当a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2时，显然④错误，故选A. 7．已知条件“直线l与平面α有公共点”，与下列结论：

①直线l上的点都在平面α内；

②直线l上有些点不在平面α内；

③平面α内任意一条直线都不与直线l平行．

构成的命题中假命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 考点

命题的概念及分类

题点

命题真假性判断

答案

D 解析

直线l与平面α有公共点，则直线l与平面α相交或直线l在平面α内，因此可判断①②③都是假命题，故选D. 8．已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是(

) A．a≥－3

C．a≤－3

考点

命题的概念及分类

题点

由命题的真假求参数的取值范围

答案

D 解析

∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}，

又∵a∈A是假命题，即a∉A，

∴a<－3. 二、填空题

9．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________________________．

考点

命题的概念及分类

B．a>－3 D．a<－3

题点

命题的结构

答案

若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除

10．给出下列命题：

①在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B；

②函数y＝x3在R上既是奇函数又是增函数；

③函数y＝f(x)的图象与直线x＝a至多有一个交点；

ππ2x＋的图象．

④若将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，则得到函数y＝sin44其中真命题的序号是________．

考点

命题的概念及分类

题点

命题真假性判断

答案

①②③

解析

①∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B. ②③正确．

ππ2x＋的图象．

④将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin24111．如果命题“若x∈A，则x＋≥2”为真命题，则集合A可以是______________．(写出一x个即可) 考点

命题的概念及分类

题点

由命题的真假求参数的取值范围

答案

{x|x>0} 1解析

当x>0时，有x＋≥2，故A可以为{x|x>0}．

x三、解答题

12．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．且指出p和q分别指什么．

(1)乘积为1的两个实数互为倒数；

(2)奇函数的图象关于原点对称；

(3)与同一条直线平行的两个平面平行．

考点

命题的概念及分类

题点

命题的结构

解

(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．

p：两个实数乘积为1；q：这两个实数互为倒数．

(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”，它是真命题．

p：一个函数为奇函数；q：这个函数的图象关于原点对称．

(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”，它是假命题，这两个平面也可能相交．

p：两个平面与同一条直线平行；q：这两个平面平行．

13．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．

考点

命题的概念及分类

题点

由命题的真假求参数的取值范围

1＋a解

若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．

51＋a由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；

51＋a若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．

51＋a由命题为真命题可知≤1，解得a≤4. 5故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，2则x>”．

5四、探究与拓展

14．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

考点

命题的概念及分类

题点

由命题的真假求参数的取值范围

答案

[－3,0] 解析

∵ax2－2ax－3>0不成立，

∴ax2－2ax－3≤0恒成立．

当a＝0时，－3≤0恒成立；

a<0，当a≠0时，则有

2Δ＝4a＋12a≤0，

解得－3≤a<0. 综上，a的取值范围为[－3,0]．

15．给出两个命题：

命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．

(1)甲、乙至少有一个是真命题；

(2)甲、乙有且只有一个是真命题；

分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围．

考点

命题的概念及分类

题点

由命题的真假求参数的取值范围

解

(1)甲为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，

即A＝aa>13

或a<－1；

乙为真时，2a2－a>1，即B＝aa>1或a<－12

. 甲、乙至少有一个真命题时，

a的取值范围是aa>113

或a<－2. (2)甲、乙有且只有一个真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，13

或－1≤a<－12.