3.2.2 直线的两点式方程教学设计(第一课时)

3.2.2直线的两点式方程

数学组

牛钰颖

本节课为人教版《普通高中课程标准实验教科书》必修二第三章“3.2.2直线的两点式方程”的内容。

一、教材分析

本节课要学的内容“直线的两点式方程”指的是已知两点坐标，确定过此两点的直线方程，其核心是直线的两点式方程及推导过程，理解它关键就是要理解过直线的点斜式方程。

二、学情分析

学生已经学过直线的点斜式方程和斜截式方程，本节课的内容是在此基础上的延伸。在教学中，学生可能遇到的困难是由直线的点斜式方程推导两点式方程的理解，产生这一困难的原因是学生对直线的点斜式方程理解不透彻。要解决这一困难，就要让学生理解直线的点斜式方程，熟练应用方程，其中关键是直线的两点式方程推导过程的理解。

三、教学目标

1、知识与技能

（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；

（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）培养学生用联系的观点看问题。

四、教学重点与难点

重点：直线的两点式方程和截距式方程

难点：直线的两点式推导过程

突破方法：由直线的点斜式方程推导出两点式方程

五、教学理念

本节课主要用到的教学理念是建构主义理论，建构主义强调教师的教学是“为了每位学生的发展”，应以学生为中心，教师应提出合适的问题引导学生探索或展示新旧知识的矛盾引发认知冲突，从而促使学生进行认知结构的“同化”和“顺应”，即自主地构建自己的认知结构，发挥自主探索精神。

六、教学方法

本节课主要采取启发式探究法、讲练结合法相结合进行教学，在整个教学过程中，引导学生观察、分析、概括、归纳，使学生思维紧紧围绕问题层层展开，激发学生的兴趣，也充分体现以教师为主导，学生为主体的教学理念。

七、教学过程设计

（一）温故知新

1、直线的点斜式方程，过点P0(x0,y0)，斜率为k的直线方程为yy0k(xx0)。

2、已知直线上两点的斜率公式：

p1(x1,y1),p2(x2,y2)，(x1x2)，过p1,p2的直线的斜率k（二）探究新知

问题一：什么是直线的两点式方程？

y2y1. x2x1设计意图：遵循由特殊到一般的认知规律，使学生在已有的知识基础上获得新结论，温故知新。

1、已知直线l经过两点P,2),P2(3,5),求直线l的方程. 1(1师生活动：学生通过旧知，求有关的直线方程。

2、已知两点P求通过这两点的直线方程。

1(x1,y1),P2(x2,y2)其中(x1x2,y1y2)，师生活动：教师提出问题，要求学生按照前面的知识独立解决问题。

（1）、直线的斜率分别是多少？

（2）、应用点斜式方程yy0k(xx0)求直线方程. 教师归纳：经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)其中(x1x2,y1y2)的直线方程为yy1xx1(x1x2,y1y2)称该方程为直线的两点式方程

y2y1x2x1思考：若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1x2，或y1y2，此时这两点的直线方程

是什么？

教师说明：当x1x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：xx1；当y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1

例1、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直线l的方程

解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）

55kl2

23

将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得

y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0 变式练习1：求过下列两点的直线的两点式方程

（1）、P（2）、A(0,5),B(5,0)

1(2,1),P2(0,3)；问题二：什么是直线的截距式方程？

1、求过下列两点的直线的两点式方程

A(0,5),B(5,0) A(0,3),B(2,0) A(0,a),B(b,0)

师生活动：学生用两点式方程求出直线方程，教师最后把以上方程都整理成xy1的形式，点明这一种形式为直线的截距式方式。

ab直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴的截距，此时直线在y轴的截距是b; 注：截距不是距离，截距可以是负数

2、是不是平面内的所有直线都有截距式方程？

师生活动：教师提出问题：截距式方程能否表示过原点的直线和与坐标轴平行的直线？要求学生独立思考。

例2、已知三角形的三个顶点A（－5,0），B（3，－3），C（0,2）求BC所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

解：将B，C两点代入两点式，得y(3)x3

2(3)03整理，得：5x＋3y－6＝0，这就是直线BC的方程。

x1x2x30322,)，设BC的中点为M（x，y），由中点坐标公式，得M（22yy1y2231即M（,）

22中线AM所在的直线方程为：y0x5，整理，得：x＋13y＋5＝0 130522

变式训练：1、根据下列条件，求直线的方程：在x轴上的截距为-2，在y轴上的截距为-2。

2、求过点P1(3,2),且在两坐标轴上截距相等的直线方程. （三）课堂小结

l的方程为1.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中xx1，y1y2)的直线_______________________. 2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2) (其中x1x,2__________________. 3.若P1(x1,y1),P2(x2,y2) (其中y1y,2___________________. 4.若直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b)(其中a0,b0),则直线l的方程为__________________________________. 5.两点式与截距式方程不能表示 的直线. 6. 若P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1,P2的中点P的坐标为_______________________. 7.直线方程的各种形式总结为如下表格：

直线名称

已知条件

直线方程

Pyy1k(xx1)

点斜式

1(x1,y1),k

ykxb

k，(0,b)

斜截式

两点式

截距式

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

(a,0),(0,b)

yy1xx1

y2y1x2x1y1)y的直线l的方程为x1)x的直线l的方程为使用范围

k存在

k存在

x1x2

y1y2

a0

b0

xy1

ab（四）随堂练习

1、求经过A(1,2)、A(3,4)两点的直线方程为（ ）

A．yx1

B. yx1 C. yx2

D. yx2

112、直线bx+ay=1在x轴上的截距是 （A） （B）b （C） （D）|b| bb3、△ABC的三个顶点为A(2,8),B(4,0),C(6,0)，则AC边上的中线所在直线的方程为

A.x–y+4=0 B.x+2y+4=0

C.2x+y–4=0 D.x–2y+4=0 4、下列说法中不正确的是 A.点斜式y–y1=k(x–x1)适用于不垂直于x轴的任何直线

B.斜截式y=kx+b适用于不垂直于x轴的任何直线

C.两点式D.截距式yy1xx1适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线 y2y1x2x1xy1适用于不过原点的任何直线

ab八、教学反思

对本节课的教学实践与效果进行总结和反思，我认为有以下几点值得探索与反思． 1、等比数列是在等差数列之后介绍的，学生对等差数列的研究内容和研究方法已有了一定的了解．因此在教学方法上突出了类比思想的使用，为学生创造好使用的条件，引导学生自己研究等比数列相关内容如定义、表示方法、通项公式．这样从学生的最近发展区出发，不仅符合学生的认知规律，而且充分发挥了学生的主体作用． 2、在教学过程中，尽可能“指着走”（在教师的启发与点拨下，学生自主展开），而不是“抱着走”．如：对于等比数列的通项公式应从哪几方面去认识？我只是指出这一研究方向，点拨一下方法（类比等差数列），让学生去联想，去探究，去归纳，去总结；在从方程的观点去认识通项公式时，我让学生自己编题，这样既达到了考查的目的，又发挥了其主观能动性．不过，“教师怎样才能真正成为学生的组织者、引导者、合作者？”，“怎样才能真正做到关注学生的需要，让学生自己也能成为教学的生长点？”这些问题还需值得继续深入思考和探索． 3、在进行教学总结时，我指导学生进行规律性知识（等比数列的定义、通项公式）与方法论知识（不完全归纳法、类比法）的归纳总结，通过“多面互动”，让学生自主建构，在动态中生成，从而达到培养学生概括能力的目的．