3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计一等奖

3.1.3．空间向量的数量积

教学目标：1．掌握空间向量夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质及运算律;了解空间向量数量积的几何意义。

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

教学难点：利用数量积解决角度、长度、垂直等问题

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学过程

（一）复习：空间向量基本定理及其推论；

（二）新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b

2．向量的模：

设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；

3．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b．

2，则称a与b互相垂直，记作：ab；

e是l上与l同方向的单位向量，已知向量ABa和轴l，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明AB的长度e

B

A

B

C

A

|AB||AB|cosa,e|ae|．

4．空间向量数量积的性质：

（1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）|a|aa．

5．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

（三）例题分析：

例1

在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 2已知:如图,PO,PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，

1

且lOA.求证：lPA.

分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可。

证明：在直线l上取向量a,

只要证a×PA=0因为a×PO=0,a×OA=0所以a×PA=a×(PO+OA)=a×PO+a×OA=0所以a⊥PA,即l⊥PA.

例2．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln

求证：l．

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

巩固练习

1、已知a2，b3，且a与b的夹角为

，c3a2b，dmab，求当m为何值时cd

22、已知a1，b1，3a2b3，则3ab

。

3、已知a和b是非零向量，且a=b=ab，求a与ab的夹角

2

4、已知a4，b2，且a和b不共线，求使ab与ab的夹角是锐角时的取值范围

5、已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，

试求：（1）(ab)；（2）(a2bc)；（3）(3a2b)(b3c)．

教学反思：空间向量数量积的概念和性质。

22

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