3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则特级教师教学实录

基本初等函数的导数公式及导数运算法则

一．学习目标

1.熟记基本导数公式（c,xm

(m为有理数)，sin x, cos x, ex, ax,lnx, logax的导数）。

2. 理解函数的和、差、积、商的求导法则．

3. 能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

二.情景导入

高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，就是求f(t)的导数．根据导数的定义，就是求当ΔyΔt→0时，Δt所趋近的那个定值．

运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sinx，y＝lnx等很难运用定义求导数．

是否有更简便的求导数的方法呢？

三．新知导学

1．基本初等函数的导数公式

函数

导数

(1)f(x)＝c(c为常数)

(2)f(x)＝xα(α∈Q*)

(3)f(x)＝sinx

f

′(x)＝______

f

′(x)＝______

f

′(x)＝______

(4)f(x)＝cosx

(5)f(x)＝ax

(6)f(x)＝ex

(7)f(x)＝logax

(8)f(x)＝lnx

f

′(x)＝______

f

′(x)＝______(a>0且a≠1)

f

′(x)＝______

f

′(x)＝______(a>0，且a≠1)

f

′(x)＝______

1

2.导数的运算法则

(1)设函数f(x)、g(x)是可导函数，则：

[f(x)±g(x)]′＝_______________；

[f(x)·g(x)]′＝_____________________．

(2)设函数f(x)、g(x)是可导函数，且g(x)≠0，

f(x)g(x)′＝________________________. 四．预习自测

1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为

(

) A．ab

B．－a(a－b)

C．0

D．a－b

∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab ∴f ′(x)＝2x－(a＋b)，

∴f ′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D．

sinx2．设y＝，－π

(

) 1＋cosxπππ2πA．±

B．±

C．±

D．±3643

【解析】

∵y＝∴y′＝sinx，

1＋cosxcosx(1＋cosx)－sinx(－sinx)1＋cosx1＝＝，

(1＋cosx)2(1＋cosx)21＋cosx11∵y′＝2，∴＝2，∴cosx＝－2，

1＋cosx

2π又－π

2

3．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝

(

) A．－1

B．0

C．2

D．4

1解析：

由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－3，又g(x)＝xf(x)，

1f

′(3)＝－3，∴g′(x)＝f(x)＋xf

′(x)，

1－3＝0. ∴g′(3)＝f(3)＋3f

′(3)＝1＋3×

五．

例题讲解

例1

求下列函数的导数：

115(1)y＝x14；(2)y＝x4；(3)y＝x3；(4)y＝(3)x. 41解：(1)y′＝(x14)′＝14x13.(2)y′＝x4′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x5. (3)y′＝(x)′＝(53x353)′＝5x25＝355x2. 1111(4)y′＝[(3)x]′＝(3)x·ln3＝－(3)xln3.

3

跟踪练习：

求下列函数的导数：

(1)y＝x－2；

(2)y＝cosx；

(3)y＝log3x；

(4)y＝e0. 2解：由求导公式得(1)y′＝－2·x－3＝－x3.

(2)y′＝(cosx)′＝－sinx. 1(3)y′＝(log3x)′＝log3e.

(4)∵y＝e0＝1，

∴y′＝0. x例2

(1)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为______. 【解析】

∵f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex

∴f′(0)＝3. (2)求下列函数的导数：

2①y＝xex；

②y＝xsinx－cosx；

解：①y′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex. 22sinx②y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝sinx＋xcos－cos2x

22sinx②y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝sinx＋xcos－cos2x. .六．课堂练习

1.求下列函数的导数．

(1)y＝x·tanx；

(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

x－1(3)y＝. x＋1

xsinx解：(1)y′＝(x·tanx)′＝cosx′

(xsinx)′cosx－xsinx(cosx)′＝

cos2x(sinx＋xcosx)cosx＋xsin2xsinxcosx＋x＝＝cos2x. cos2x

4

(2)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′

＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′

＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；

解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6，

∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′

＝3x2＋12x＋11；

x－1(x－1)′(x＋1)－(x－1)(x＋1)′′＝(3)解法1：y′＝

(x＋1)2x＋1x＋1－(x－1)2＝＝；

(x＋1)2(x＋1)2x－1x＋1－22解法2：∵y＝＝＝1－，

x＋1x＋1x＋1222∴y′＝1－x＋1′＝－x＋1′＝.

(x＋1)22.已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为(

) A．1－sin 1

B．1＋sin 1

C．sin 1－1

D．－sin 1 1解析：选A.因为f(x)＝cos x＋ln x，所以f′(x)＝－sin x＋x，所以f′(1)＝1－sin 1. 规律总结

1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．

利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．

2.利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．

3.求函数在某点处的导数的步骤：先求导函数，再代入

变量的值求导数值．

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