习题3.1评课稿

§3.2.2空间角与距离的计算举例

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题，转化为空间向量的数量积来解决。

【教学目标】：

（1）知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算；能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计算问题. （2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】：

将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算. 【教学难点】：

将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算. 【教学过程设计】：

教学环节教学活动设计意图

一、复习引入

1．两个向量的数量积如何运算？

2．向量的模与向量的数量积是什么关系？

3．向量的加法法则。为探索新知识做准备. 二、探究与练习

一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）

二、例题

例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？

思考：

（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？

分析: （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? 分析: （3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）

分析：面面距离

点面距离

向量的模

回归图形

练习: 如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA， BC的中点，连结DE，计算DE的长

例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处§3.2.2空间角与距离的计算举例§3.2.2空间角与距离的计算举例。从A，B到直线

（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值

解：如图

化为向量问题

根据向量的加法法则

进行向量运算

设向量

与

的夹角为

，

就是库底与水坝所成的二面角。

因此回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为

思考：

（1）本题中如果夹角

可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？

分析：

∴

可算出 AB 的长。

（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？

分析：如图，设以顶点A为端点的对角线长为d，三条棱长分别为 a,b,c,各棱间夹角为 . （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等a，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于

，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？

分析：二面角

平面角

向量的夹角

回归图形

解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1E⊥AB 于点 E，在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。

∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。

练习：

（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长§3.2.2空间角与距离的计算举例文章§3.2.2空间角与距离的计算举例出自http://www.gkstk.com/article/wk-78500001215503.html，转载请保留此链接！。

2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。

让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。

例1的图形比较规范，容易把握，可以让学生很好地体会向量解题的优势。

这是例题1的推广，方法类似，学生进一步体会. 及时进行类比训练，巩固所学方法和技能。

例2是关于角的有关问题，引导学生找到相应的向量进行转化。

三、小结1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。

2．面面距离

点面距离

向量的模

回归图形

二面角

平面角

向量的夹角

回归图形

反思归纳

四、作业课本P112 第 2、4 题。

练习与测试：

（基础题）

1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（

）

A．75° B．60°

．45° D．30°答：C C