3.3.4 两条平行直线间的距离ppt课件课堂实录

3.4

两条平行直线间的距离教学设计

三维目标

1．让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．

2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作．

重点难点

教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．

教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.点P(0,5)到直线y＝2x的距离是多少？

更进一步在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？这节课我们就来专门研究这个问题．

思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离．如图1，已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0)．

图1 推进新课

新知探究

提出问题

①已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P到直线l的距离．你最容易想到的方法是什么？各种做法的优缺点是什么？

②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？

③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论：

(ⅰ)x0＝0，y0＝0时，d＝|Ax0＋C||C|；(ⅱ)x≠0，y＝0时，d＝002222；

A＋BA＋B

(ⅲ)x0＝0，y0≠0时，d＝|By0＋C|. A2＋B2观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0，y0)，d＝？

|Ax0＋By0＋C|学生应能得到猜想：d＝. A2＋B2启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理) 证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax＋By＋C1＝0，令y＝0，得P′(－C1|A·－＋C|A|C－C1|C1，0)．∴P′到直线l的距离d＝＝.(*) AA2＋B2A2＋B2∵P在直线l1：Ax＋By＋C1＝0上，∴Ax0＋By0＋C1＝0.∴C1＝－Ax0－By0. 代入(*)得d＝|C＋Ax0＋By0||Ax0＋By0＋C|，即d＝. A2＋B2A2＋B2②可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式也成立．

③引导学生得到两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝|C1－C2|A2＋B2

. 证明：设P0(x0，y0)是直线Ax＋By＋C2＝0上任一点，则点P0到直线Ax＋By＋C1＝0|Ax0＋By0＋C1||C1－C2|的距离为d＝.又Ax＋By＋C＝0，即Ax＋By＝－C，∴d＝. 002002A2＋B2A2＋B2讨论结果：①已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P到直线l的距离公式为|Ax0＋By0＋C|d＝. A2＋B2②当A＝0或B＝0时，上述公式也成立．

③两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0的距离公式为d＝应用示例

思路1 1求点P0(－1,2)到下列直线的距离：

(1)2x＋y－10＝0；(2)3x＝2. |2×－1＋2－10|10解：(1)根据点到直线的距离公式得d＝＝＝25. 522＋1225(2)因为直线3x＝2平行于y轴，所以d＝|－(－1)|＝. 33点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到

|C1－C2|

. A2＋B2

直线距离的灵活性，并没有局限于公式. 变式训练

点A(a,6)到直线3x－4y＝2的距离等于4，求a的值．

|3a－4×6－2|46解：＝4⇒|3a－26|＝20⇒a＝2或a＝. 332＋422已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△ABC的面积．

1解：设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h. 2|AB|＝3－12＋1－32＝22，

AB边上的高h就是点C到AB的距离．

y－3x－1AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0. 1－33－1|－1＋0－4|5点C到x＋y－4＝0的距离为h＝＝，

212＋1215因此，S△ABC＝×22×＝5. 22点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练

求过点A(－1,2)，且与原点的距离等于2的直线方程．

2解：已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式，即可求出直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0. 3求平行线2x－7y＋8＝0和2x－7y－6＝0的距离．

解：在直线2x－7y－6＝0上任取一点，例如取P(3,0)，则点P(3,0)到直线2x－7y＋8＝|2×3－7×0＋8|1414530的距离就是两平行线间的距离．因此，d＝＝. 22＝53532＋－7点评：把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练

求两平行线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0的距离．

213答案：. 13知能训练

课本本节练习．

拓展提升

问题：已知直线l：2x－y＋1＝0和点O(0,0)、M(0,3)，试在l上找一点P，使得||PO|－

|PM||的值最大，并求出这个最大值．

42解：点O(0,0)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点为O′(－，)，

5513则直线MO′的方程为y－3＝x. 4811直线MO′与直线l：2x－y＋1＝0的交点P(－，－)即为所求，

55相应的||PO|－|PM||的最大值为|MO′|＝课堂小结

通过本节学习，要求大家：

1．掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．

2．构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作．

3．本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用．

作业

课本习题3.3

A组9、10；B组2、4. 设计感想

本节课采用探究式的教学方法，通过设问、启发、铺垫，为学生搭建探究问题的平台，让学生在问题情境中，自己去观察、归纳、猜想并证明公式，经历数学建模的过程，在自主探究、合作交流中获得知识，在多角度、多方面的解决问题中，使不同层次的学生都能有所收获与发展．根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合．学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣．

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