3.1直线的倾斜角与斜率（通用）第一课时教学实录

直线的倾斜角与斜率

【教材分析】《直线的倾斜角和斜率》选自高中数学人教A版必修2第三章第一节的第一课时，是高中数学解析几何的入门课，是学生初步感受用代数关系解决几何问题的重要一课。本节课主要涉及了两个概念——倾斜角和斜率，倾斜角是几何概念，它主要起到过渡作用，是联系新旧知识的纽带，后续研究斜率和直线的平行、垂直等位置关系都要用到这个概念；斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一。因此，在本节课教学环节的设置当中，通过最简单的几何图形——直线，教师要带领学生经历将直线的几何特征代数化，即用倾斜角和斜率来刻画直线的倾斜程度这一过程。

【学情分析】一方面，学生经过了近一年的高中学习，已经逐渐养成了利用数形结合的思想来解决问题的习惯，并且初步具备了这种能力，另一方面，学生在初中阶段学***面直角坐标系下点等的表示，对直线也已有所了解和应用，会根据已知条件设y=kxb（一次函数），并求出参数k,b的值.这是我们之后在直线方程中要讲的斜截式，但学生在初中阶段对于k,b的几何意义，因此在本节课的教学过程当中，将在学生已有的知识基础之上，来解释k的几何意义，在后续的学习当中还会解释b的意义。

【教学目标】

1.

知识与技能目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，并掌握它们的范围；掌握求直线斜率的方法：定义法——倾斜角的正切值ktan,0,,和公式法——两22点斜率公式ky2y1x2x1. x2x12.

过程与方法目标：引入坐标法探究直线斜率公式，培养学生观察归纳，分类讨论，对比，转化等重要数学思想，初步感受几何问题代数化的思想，提高抽象概括能力。

3.

情感态度与价值观目标：通过主动探索、合作交流来感受数学学习的乐趣，鼓励学生积极、主动地参与教学过程，激发学生的求知欲望。

【教学重、难点】

教学重点：直线倾斜角和斜率的概念，两点斜率公式及其应用。

教学难点：斜率概念的理解以及两点斜率公式的推导。

【教学过程】

一、

复习引入

问题1：我们在初中的时候就已经知道两点确定一条直线，但经过一点可以作出无数条直线，这无数条直线它们的区别在哪里？

设计意图：学生会在草稿纸上演示过一点的直线，发现它们的方向出发，以学生可能回答的“方向”等词中引导它们向“倾斜程度”这一概念靠拢，从而引出本节课的第一个概念——倾斜角. 另外展示部分生活中的不同倾斜程度的建筑等的图片，让学生更加直观地感受到这一概念。二、新课讲解

我们利用倾斜角来刻画直线的倾斜程度，给出倾斜角的定义：

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.

给出概念后，利用ppt展示三幅图像，并让学生给出每一副图中倾斜角的范围。

图1中倾斜角是锐角，图2是钝角，图3是直角. 设计意图：学生通过概念的学习，自主探究直线倾斜角的范围。

问题2：那当直线不与x轴相交时，直线的倾斜角又该如何定义呢？

设计意图：对于直线倾斜角范围问题的进一步深入探讨，学生通过翻阅课本和自己理解，找出答案，培养学生主动探究的过程。

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0. 综合上述，我们得到直线的倾斜角的范围是0,180. 问题3：大家还记得我们学过的向量夹角的范围吗？

设计意图：对比学习，理解两者范围的不同，向量是带有方向的量，所以与x轴正方向同向或反向所形成的夹角是不同的。由此更好地理解这两个不同的量。

师：在生活中，我们也常常用“坡比”来表示倾斜程度.

坡比=升高量，当倾斜角是锐角时，坡比实际上就是“倾前进量斜角的正切”. 斜率：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母k表示，即ktan. 设计意图：通过坡比这个生活中的实际例子，类比学习得到直线斜率的定义，但直线斜率的定义又是坡比概念的推广，设计到当角是钝角的时候如h. L口答：（1）若=45，则k______；（2）（1）若=120，则k______. 何理解，在这里，我将升高量和前进量处理为差值，即问题4：所有直线都有倾斜角，那么是否所有直线也都有斜率呢？

设计意图：让学生从斜率的定义出发，理解当=90时，tan无意义，即直线不存在斜率。

练习：（1）已知直线l的倾斜角2，33，则直线l的斜率范围是_______. ，3，则直线l的倾斜角的范围是_______. （2）已知直线l的斜率范围是-1设计意图：由斜率的定义，事实上k是在0，2，上的正切图像，2练习（1）（2）主要是想培养学生通过数学结合的思想方法来解决问题的能力，在本题中，利用正切函数在0,,上的图像，可以快速实现倾斜角22

和斜率之间的互求. 三、

深入探究（过两点的直线斜率公式）

设计意图：通过让学生自主阅读理解课本84页的内容和教师的讲解，体会在解决问题的过

程讨论要注意分类讨论的思想，同时得到对所有情况均成立的过两点的斜率公式：

若P1x1,y1,P2x2,y2x1x2，则过这两点的直线的斜率ky2y1. x2x1四、

例题分析

例1：经过下列两点的直线斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. （1）A2，3,B4，5；（2）C2，3,D2，1；（3）P31，，

,Q310设计意图：利用两点的坐标求直线斜率，注意先对斜率是否存在做一个预判。利用x1和x2. 例2：（1）如果A2m,,B4,1,C4,m三点在同一直线上，试确定常数m的值；

（2）直线l过点P1，0，且与以A2,1,B0，3为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围. 设计意图：利用斜率公式来解决三点共线的几何问题，第二题中，解决直线与线段相交，求斜率的问题，再次体现数形结合的思想，在学习直线方程后，也可以转化为函数在给定区间上的值域问题。在这里，可以充分地体现出知识是联系的，在讲解的过程中，要主动对学生思维品质的培养，多倡导一题多解，多题一解，辩证学习。

五、

课堂练习

521.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角大它的斜率也大B.任一直线都有倾斜角也有斜率C.有斜率的两条直线关于y轴对称,则它的斜率是互为相反数D.平行于x轴的直线的倾斜角是00或18002.一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角090,则其倾斜角为（ ）

A.C.180或90B.180D.90+或90

3.如图直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(A)k1k2k3(B)k3k1k2(C)k3k2k1(D)k1k3k2

14.已知直线l1的斜率为,直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角2的２倍,则直线l2的斜率是.5.已知点A2，-3，B-3，-2，线段AB上有一点Px,y,y1求的取值范围；x1

sin思考题：求的取值范围；cos2

六、

课后作业

作业本《课后达标检测》P125-P126. 七．教学反思

本节课是解析几何的入门课，是让学生对几何问题代数化有初步认识的第一堂课，在教学的过程当中，我特别突出强调这一点。从我的教学过程也好，包括例题的设置和习题的选取，我都非常注重数形结合这一重要数学思想方法的渗透。在教学过程中，注重学生的自主学习和主动探究，有意识地培养学生分析问题和解决问题的能力。同时，结合自己适时的讲解，能够使学生更好地理解知识。例题和习题的选取紧紧围绕教学目标，让学生掌握倾斜角和斜率的概念，并会求斜率，同时，题目类型多变，考察学生的题意理解和等价转化能力。