习题4.2公开课教案（教学设计）

一类高考题的寻根之旅

——从课本的一道习题谈起

广东高州中学

何忠贤（特级教师）

一、内容分析

1.教材与地位：

曲线和方程是解析几何的基本问题之一，核心就是曲线与方程的转化关系，而解析几何的基本思想就是建立曲线的方程，通过方程去研究曲线的性质，所以说曲线与方程是解析几何的一条主线，在历年的高考中也经常会有一些试题是以建立动点轨迹方程作为切入点的。因此，求轨迹方程是解决圆锥曲线问题的突破口、关键点。人教A版必修2，p124，B组，3题；人教A版选修2-1，P41，例3；而在近年高考的解析几何的解答题中，轨迹方程求解问题是一个热点、重点。

2. 内容解析：轨迹方程求解问题是高考中的一个热点、重点，在高考中难度一般为中低档，经常是出现在第一小问，但也不排除有难度较大的题目出现如：2014年广东卷

理科19。

3.从课本一道习题的解法，经过细究，发现该道习题是具有“生长性”的一道题优秀例题（称为根题），在它的基础上，数学人不仅能“看”出它的精髓，释放它的价值。而且以它为“根”，可以

“长”出许多好题,发现在高考的数学正卷中，同一个题根，竟连绵考核了10年以上，真是教材深处认得题根知考根。

二、学情分析

学情分析：学生已有的认知结构是初步掌握了求轨迹的基本步骤，但求轨迹的基本方法比较

模糊，没有形成规律性和系统性，对图形的变化缺乏动态的认识，对数学知识的综合运用心

理准备不足，通过这节课尽量让学生理清求轨迹方程的方法和步骤。

三、教学目标

1.理解“定比圆”相关概念；

2.掌握利用“定比圆”来求解轨迹方程；

3.将“定比圆”的概念及方法进行拓展，完善求曲线轨迹方程的知识结构。

四、教学重点

1.理解“定比圆”相关概念；

2.掌握利用“定比圆”来求解轨迹方程。

五、教学难点

将“定比圆”的概念及方法进行拓展，完善求曲线轨迹方程的知识结构。

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六、教学方法

学生自主学习与教师讲授相结合

七、教学过程

（一）课程引入

题根案例

【根题】（人教A版必修2，p124，B组，3题）

已知点M与两个定点O（0，0）,A（3，0）的距离比为【解析】如图，设动点Mx,y，连结MO,MA, 有：MA2MO1，求点M的轨迹方程. 2yMx,yx32y22x2y2，

化简得：x2y22x30，

即x1y4221

OA3,0x方程（1）即为所求点M的轨迹方程，

它表示以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆。

这道习题是具有“生长性”的一道题好题（称为根题），

以它为“根”，可以

“长”出许多好题, 在高考的数学正卷中竟连绵考核了10年以上。

课程引入设计意图：

回归课本，提出问题，唤起学生对该节课的学习兴趣。

教学方式：学生自主学习与教师讲授相结合

（二）理论基础---根题推广

将如上根题推广到一般形式，即得轨迹问题：动点Px,y到定点F1(c，、0)F2(c，0)的距离之比为定值λ.（c，λ为正数），求点P(x,y)的轨迹方程 . （本题实为2003年北京春季高考题）

2 yMx,yxOA3,0

【解析】依题意，由两点间距离公式：(xc)2y2(xc)2y2，化简得：

(12)x2(12)y22c(12)x(12)c20【讨论】方程的图形是什么？

1

①当λ=1时，得

x = 0 ,也就是线段F1F2的垂直平分线（定义这样的直线为定比直线）；

②当λ≠1时，方程（1）变形得：xy2222c12122xc20，

212c化成标准形式：x2cy22112，

212c这是以2c,0为圆心，且半径r2的圆。（定义这样的圆为定比圆）。

11本题设计意图：提出定比圆的概念，加强学生归纳总结能力，培养学生分类讨论的数学思想

（三）考场精彩

【题1】（2008.江苏卷，13题）

△ABC满足条件AB2,AC2BC的△ABC的面积的最大值是 ．

【解析】显然这是一例“定比圆”，建立如图的直角坐标系，因为

有c1,2，代入定比圆公式得：x3y28。

设圆心为M，显然当CM⊥x轴时，△ABC面积最大, 1此时CM22,SABCmax22222. 22yCAOBMx

【题2】（2006，四川文8理6）

已知两定点

A (-2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足| PA | =2| P B|，则点P的轨迹所包围的面积等于（ ）

A.π B.4π

C.8π

D.9π

【解析】显然这也是一例“定比圆”

而本题条件中的A,B关于y轴不对称，所以直接用定比圆公式不恰当，但由于知道轨迹一定

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是圆，圆面积只与半径有关，而半径公式为r即得r2。

132ccAB,2时，直接代入，当2221本题组设计意图：通过几个高考真题检验所提出的“定比圆”，提高学生进行类比、归纳总结的能力。

【题3】（2013.江苏卷，17题（2））

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A0,3，直线l：y2x4.设圆C的半y径为1，圆心在l上. 若圆C上存在点M，使MA2MO，

求圆心C的横坐标a的取值范围。

【解析】点C在直线l：y2x4上，故设

A0,3y2x4oxCa,2a4,∵半径r11，∴圆C的方程是：

xa2y2a41．

y2满足MA2MO的轨迹正是定比圆D，由

y2x4x2y32x2y2x2y14，

这里圆心为D（0，-1）,半径r22．

两圆有公共点的条件是：r1r2DCr1r2,

即15a212a99，解得0a

反思：图中可以直观地说明两圆公共点的变化情况，

当a0时，圆C为x2y41与所求圆D相切；

12412当a时，圆C为xy1,也与所求圆D相切。

55522222A0,3ox12．

5这样，答案0a

（四）、题根拓展

12的正确性也就不言而喻了．

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1.由距离比向角度比拓展

【例1】（2012四川理卷21题（1））如图，动点M到定点A（-1，0）, B（2.0），构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C，求轨迹C的方程。

【解析】如图设∠MAB=

，则∠MBA=2

. 当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．

当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，

tankMAyy,tan2kMB,

x12xyMA2OBx2y2yx1y2tanx1而tan2，，

2221tan22xx1yy1x1△MAB存在时，y≠0,化简得：3x2y230． 注意到∠MBA＞∠MAB,故所求轨迹为双曲线右支，且点

(2，±3)也满足上方程，

所以所求方程为3x2y230x1. 反思：距离比转换为角度比，轨迹不再是圆。此时求轨迹方程的一般方法是

通过三角函数、斜率等知识铺路搭桥，实现由距离比向角度比转化，。

2.轨迹的解析法，向几何法拓展

【例2】（2010.武汉华师一附中5月考，5题）

yQF1,F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从焦点F1引FQF12的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为（ ）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

【解析】如图,延长QF2,F1P交于R，连OP. ∵QP平分FQF12，且QP⊥F1R,

∴△Q F1R为等腰三角形,QF1QR且P为F1R的中点. 设双曲线实轴长为2a，QF1QF2QRQF2F2R2a，

F1OF2xyQF1OPF2xR

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而OP是△F1F2R的中位线,OP1F2Ra为定值, 则点P的轨迹为圆,选B. 2反思：假如“看”不到OP为定长的实质，而纯粹用解析法去做，其难度何止增加数倍？

3. 两定点用两定圆替换，距离之比用切线长之比替换

【例3】（2005年高考江苏卷19题）如图，圆O1与圆O2的半径都是1，

MyPNO1O2 = 4，过动点P分别作圆O1、O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），

使得PM2PN. 试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程. o1oo2系，

x【解析】以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴建立如图的直角坐标有O12,0,O22,0.连结PO1,O1M;PO2,O2M,

有PMO1M,PNO2N．PNd,PM2d，

MyPNPO122d21222POPO1,即是：

2122PO2d12x2y2x2y21，化简得：x6y2

33，

所求轨迹是以（6，0）为圆心，以33为半径的圆.

222o1oo2x反思：M,N不是定点，过渡到O1，O2就是定点了。将未知的动点向已知的定点转化，这就是本题思路。

本题组设计意图：通过本题组的训练，拓展学生的思维能力，达到举一反三的目的。

课堂反思：我们求轨迹方程的一般方法是什么呢？

求轨迹方程的一般方法是（五步法）

（1）设点.即设M（x,y）为符合轨迹条件的点；

（2）列式.即列出能够反映轨迹条件与结论的一个等式；

（3）转化.即将以上（2）中的等式转化成为关于变量x,y的二元方程；

（4）化简.即将以上（3）中的方程转化成为最简形式；

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（5）讨论.如果以上（4）中的最简方程含有参变量，则需依据参变量的变化进行讨论，看其分别表示什么曲线，要特别注意做到“多退少补”。

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