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章末小结——常用逻辑用语

【学习目标】

1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系. 2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法. 3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假. 4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．

【知识点梳理】

1．四种命题及其关系

(1)四种命题：

命题

表述形式

原命题

若p，则q

逆命题

若q，则p

否命题

若p，则q

逆否命题

若q，则p

(2)四种命题间的逆否关系：

(3)四种命题的真假关系：

两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

2．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)分类：

①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；

②充分不必要条件：p⇒q且q⇏p. ③必要不充分条件：p⇏q且q⇒p. ④既不充分也不必要条件：p⇏q且q⇏p. 3．简单的逻辑联结词

(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，p. (2)命题p∧q，p∨q，p的真假判断：

p∧q中p，q有一假即为假，p∨q有一真即为真，p与綈p必定是一真一假．

4．全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称命题：

全称量词用符号“∀”表示．

全称命题用符号简记为∀x∈M，p(x)．

(2)存在量词与特称命题：

存在量词用符号“∃”表示．

特称命题用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．

5．含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，綈p(x0) ∃x0∈M，p(x0)

∀x∈M，綈p(x)

1．命题“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”的否命题是假命题．(

) 2．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．(

) 3．命题“若p，则q”与命题“若p，则q”的真假性一致．(

) 4．已知命题p：∃x0∈R，x0－2＞0，命题q：∀x∈R，x2＞x，则命题p∨(綈q)是假命题．()错误!

错误!错误!错误!错误!错误!

典例精讲

类型一

命题及其关系

例1

(1)有下列命题：

①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”．其中是真命题的是(

) A．①②③

B．②③④ C．①③④

D．①③

(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(

) A．p∨q

B．p∧q

C．(p)∧(q)

D．p∨(q) 反思与感悟

(1)互为逆否命题的两命题真假性相同．

(2)“p与p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．

跟踪训练1

(1)命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是(

) A．若x2>1，则－1≤x≤1

B．若－1≤x≤1，则x2≤1 C．若－11

D．若x<－1或x>1，则x2>1 (2)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是(

) A．p为真

B．q为真

C．p∧q为假

D．p∨q为真

类型二

充分条件与必要条件

命题角度1

充分条件与必要条件的判断

例2

(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

反思与感悟

条件的充要关系的常用判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．

(2)等价法：利用A⇒B与B⇒A，B⇒A与A⇒B，A⇔B与B⇔A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

跟踪训练2

使a>b>0成立的一个充分不必要条件是(

) A．a2>b2>0

B．log1alog1b0C．ln a>ln b>0

D．xa>xb且x>0.5 22

命题角度2

充分条件与必要条件的应用

例3

设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

反思与感悟

利用条件的充要性求参数的范围

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．

(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若p是q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．

跟踪训练3

若p：2x2－9x＋a<0，q：2

类型三

逻辑联结词与量词的综合应用

例4

已知p：∃x0∈R，mx20＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(

)

A．[1，＋∞)

B．(－∞，－1]

C．(－∞，－2]

D．[－1,1] 反思与感悟

解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与p假等价，p假与p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．

跟踪训练4

已知命题p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是(

) A．(－∞，－2)

B．[－2,0)

C．(－2,0)

D．(0,2)

错误!错误!错误!错误!错误!错误!

当堂检测

1．下列说法正确的是(

) A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”

B．命题“∃x0∈R，x20>1”的否定是“∀x∈R，x2>1”

C．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆否命题为假命题

D．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题为假命题

2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．命题“∃x0∈R，f(x0)<0”的否定是(

) A．∃x0∉R，f(x0)≥0

B．∀x∉R，f(x)≥0

C．∀x∈R，f(x)≥0

D．∀x∈R，f(x)<0 4．已知p：x2＋2x－3>0；q：13－x>1.若“(q)∧p”为真命题，求x的取值范围．

5．已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：|x－3|≤m，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

1．互为逆否命题的两命题是等价命题．

2．充分条件与必要条件的判定应先找准条件p与结论q，可根据定义及集合法进行判别．

3．含有联结词“且”“或”“非”的复合命题的真假判断．

p∧q中p，q有一假为假，p∨q有一真为真，p与p是一真一假．

4．全称命题与特称命题的否定

先改量词(全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词)再对结论否定.