3.1.1 空间向量及其加减运算教案教学设计导入整理

空间向量及其运算

3．1.1

空间向量及其加减运算

预习课本P84～85，思考并完成以下问题

1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？

2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合律吗？

[新知初探]

1．空间向量的有关概念

1

(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．

(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．

②字母表示法：用字母表示，若向量a(3)表示法：的起点是A，终点是B，则向量a也→―→可以记作―AB

，其模记为|a|或|AB|.

2．几类特殊向量

特殊向量

零向量

单位向量

相反向量

相等向量

定义

长度为0的向量

模为1的向量

与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量

方向相同且模相等的向量

①几何表示法：空间向量用有向线段表示.

表示法

0 ―→|a|＝1或|AB|＝1 －a

―→―→a＝b或

AB＝CD

3.空间向量的加法和减法运算

空间向量的运算

减法

加法

―→―→―→OB＝OA＋AB

＝a＋b

―→―→―→CA＝OA－OC

＝a－b (1)交换律：a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

加法运算律

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) ―→―→(1)向量AB的长度与向量BA的长度相等(

) (2)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同(

) (3)零向量没有方向(

) (4)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致(

) 答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

―→―→―→2．化简PM－PN＋MN所得的结果是(

) ―→A．PM

C．0 ―→B．

NP

―→D．MN

2

答案：C ―→―→―→3．在四边形ABCD中，若AC＝AB＋AD，则四边形ABCD的形状一定是(

) A．平行四边形

C．矩形

答案：A ―→4．在平行六面体ABCD-A′B′C′D′的顶点表示的向量中，模与向量A′B′的模相B．菱形

D．正方形

等的向量有________个．

答案：7

3

[典例]

下列说法中正确的是(

) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律

―→―→―→D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC

[解析]

|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|―→＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB―→―→＋AD＝AC，只有在平行四边形中才能成立．故选B. [答案]

B

空间向量有关概念问题的解题策略

(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．

(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．

[活学活用]

下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(

) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

②平行且模相等的两个向量是相等向量；

③若a≠b，则|a|≠|b|；

④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A．0

C．2 B．1 D．3 空间向量的概念辨析

解析：选B

根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.

4 空间向量的加法、

减法运算

―→―→―→[典例]

在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简A1F1－EF＋DF＋―→―→AB＋CC1，并在图中标出化简结果的向量．

[解]

在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四―→―→边形，所以A1F1＝AF. ―→―→―→―→―→―→同理AB＝ED，CC1＝DD1，DF＝D1F1，

―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→所以A1F1－EF＋AB＋CC1＋DF＝AF＋FE＋ED＋DD1＋D1F1＝AF1，如图．

[一题多变]

―→―→―→―→1．[变设问]

若本例条件不变，化简AB＋CC1＋DE＋B1D1，并在图中标出化简结果的向量．

解：根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，

―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→所以BB1＝CC1，DE＝D1E1，所以AB＋CC1＋DE＋B1D1＝AB＋BB1＋D1E1＋B1D1＝―→―→―→―→―→AB＋BB1＋B1D1＋D1E1＝AE1. ―→―→2．[变条件、变设问]

若本例中的六棱柱是底面为正六边形的棱柱，化简AF1－AB＋―→BC，并在图中标出化简结果的向量．

解：因为六边形ABCDEF是正六边形，

所以BC∥EF，BC＝EF，

又因为E1F1∥EF，E1F1＝EF，

所以BC∥E1F1，BC＝E1F1，

5

所以BCE1F1是平行四边形，

―→―→―→―→―→―→所以AF1－AB＋BC＝BF1＋BC＝BE1.

空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．

[注意]

(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．

(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．

层级一

学业水平达标

1．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是(

) ―→―→―→A．AB＋BC＝AC

―→―→―→C．AB－AC＝CB

答案：B ―→―→―→2．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则MG－AB＋AD＝(

) ―→A．2DB

―→C．3GM

―→B．3MG

―→D．2MG

―→―→―→B．AB＋BC＋CA＝0 ―→―→D．AB＝－BA

―→―→―→―→―→―→―→―→解析：选B

MG－AB＋AD＝MG＋BD＝MG＋2MG＝3MG. ―→―→―→―→3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD是(

) A．平行四边形

C．等腰梯形

B．空间四边形

D．矩形

―→―→―→―→―→―→解析：选A

∵AO＋OB＝DO＋OC，∴AB＝DC. ―→―→―→―→∴AB∥DC且|AB|＝|DC|. ∴四边形ABCD为平行四边形．

6

4．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是(

) ―→―→―→―→A．

EB＋BF＋EH＋GH＝0 ―→―→―→―→B．EB＋FC＋EH＋GE＝0 ―→―→―→―→C．EF＋FG＋EH＋GH＝0 ―→―→―→―→D．EF－FB＋CG＋GH＝0 解析：选B

由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形―→―→―→―→EFGH为平行四边形，其中EH＝FG，且FC＝BF，而E，B，F，G四点构成一个封闭―→―→―→―→图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有EB＋FC＋EH＋GE＝0. ―→5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为AC1的有(

) ―→―→―→―→―→―→①AB＋BC＋CC1；

②AA1＋B1C1＋D1C1；

―→―→―→―→―→―→③AB－C1C＋B1C1；

④AA1＋DC＋B1C1. A．①④

C．①②④

B．①②③

D．①②③④

―→解析：选D

根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：①AB＋―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→BC＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；②AA1＋B1C1＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；③AB－C1C＋―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；④AA1＋DC＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.所以，所给四个式子的运―→算结果都是AC1. ―→―→6.如图所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，AC与A′C′是―→―→________向量，AB与B′A′是________向量．(用相等、相反填空) ―→―→―→―→解析：由相等向量与相反向量的定义知：AC与A′C′是相等向量，AB与B′A′是相反向量．

答案：相等

相反

―→―→―→―→7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝________. ―→―→―→解析：如图，A1B＝B1B－B1A1

―→―→―→―→―→＝B1B－BA＝－CC1－(CA－CB) ＝－c－(a－b)＝－c－a＋b. 答案：－c－a＋b

7

8．给出下列四个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；

③不相等的两个空间向量的模必不相等；

④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|. 其中正确命题的序号为________．

解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．

答案：④

9.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，

(1)单位向量共有多少个？

(2)试写出模为5的所有向量；

―→(3)试写出与AB相等的所有向量；

―→(4)试写出AA1的相反向量．

―→―→―→―→―→―→―→―→解：(1)由于AA1＝1，所以AA1，

A1A，BB1，B1B，CC1，C1C，DD1，D1D这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．

―→―→(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，所以模为5的向量为AD1，

D1A，

―→―→―→―→―→―→A1D，

DA1，

BC1，

C1B，

B1C，

CB1

―→―→―→―→(3)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)为A1B1，DC，D1C1. ―→―→―→―→―→(4)向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，

D1D. 10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

―→―→―→(1)AB＋BC－C1C；

―→―→―→(2)AB－DA－A1A.

8

―→―→―→―→―→―→―→―→―→解：(1)AB＋BC－C1C＝AB＋BC＋CC1＝AC＋CC1＝AC1

(如图)．

―→―→―→(2)AB－DA－A1A

―→―→―→＝AA1＋(AB＋AD) ―→―→―→＝AA1＋(A1B1＋A1D1) ―→―→＝AA1＋A1C1

―→＝AC1

(如图)．

层级二

应试能力达标

1．下列命题中，正确的个数为(

) ①若a＝b，b＝c，则a＝c；

②|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；

―→―→③AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D重合．

A．0

C．2 B．1 D．3 解析：选C

①正确，∵a＝b，∴a，b的模相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的模相―→―→等且方向相同，∴a＝c.②正确，a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/ a＝b.③不正确，由AB＝CD，―→―→―→―→知|AB|＝|CD|，且AB与CD同向．故选C. ―→―→―→2．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则DA＋CD－CB等于(

) ―→A．DB

―→C．AC

―→B．AB

―→D．BA

―→―→―→―→―→―→―→―→―→解析：选D

法一：DA＋CD－CB＝(CD＋DA)－CB＝CA－CB＝BA. ―→―→―→―→―→―→―→―→―→法二：DA＋CD－CB＝DA＋(CD－CB)＝DA＋BD＝BA. ―→―→―→―→―→―→3．如果向量AB，AC，BC

满足|AB|＝|AC|＋|BC|，则(

) ―→―→―→A．AB＝AC＋BC

―→―→C．AC与BC同向

―→―→―→解析：选D

∵|AB|＝|AC|＋|BC|，

∴A，B，C共线且点C在AB之间，

―→―→―→B．AB＝－AC－BC

―→―→D．AC与CB同向

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―→―→即AC与CB同向．

4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有(

) ―→―→―→―→①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量；

―→―→―→―→②OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量；

―→―→―→―→―→―→―→―→③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量；

―→―→―→―→④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量．

A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

―→―→―→―→―→―→解析：选C

∵O为正方体的中心，∴OA＝－OC1，OD＝－OB1，故OA＋OD＝－―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→(OB1＋OC1)，同理可得OB＋OC＝－(OA1＋OD1)，故OA＋OB＋OC＋OD＝－(OA1＋―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→OB1＋OC1＋OD1)，∴①③正确；∵OB－OC＝CB，OA1－OD1＝D1A1，∴OB－OC与OA1―→―→―→―→―→―→―→―→－OD1是两个相等的向量，∴②不正确；∵OA1－OA＝AA1，OC－OC1＝C1C＝－AA1，―→―→―→―→∴OA1－OA＝－(OC－OC1)，∴④正确．

―→―→―→―→5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，E是A1B的中点，则CE＝________.(用a，b，c表示) ―→1―→―→解析：CE＝(CA1＋CB) 21―→―→―→＝(CA＋CC1＋CB) 21＝(a＋b＋c)．

21答案：(a＋b＋c) 2―→―→6．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，―→―→―→A1A＝c，用a，b，c表示D1M，则D1M＝________. ―→―→―→解析：D1M＝D1D＋DM

―→1―→―→＝A1A＋(DA＋DC) 21―→―→＝c＋(－A1D1＋A1B1) 211＝a－b＋c. 22

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11答案：a－b＋c

22―→―→―→7.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

―→―→―→(1)

AP；(2)

A1N；(3)

MP. 解：(1)∵P是C1D1的中点，

―→―→―→―→―→1―→∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1

21―1→＝a＋c＋AB＝a＋c＋b. 22(2)∵N是BC的中点，

1――→―→―→―→→∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC

21―1→＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c. 22(3)∵M是AA1的中点，

―→―→―→1―→―→∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP

21111a＋c＋b＝a＋b＋c. ＝－a＋2222

8.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．

―→―→―→(1)AB＋BC－DC；

―→―→―→(2)AB－DG－CE. ―→―→―→―→―→―→―→―→―→解：(1)AB＋BC－DC＝AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD，如图中―→向量AD. ―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→(2)AB－DG－CE＝AB＋GD＋EC＝AB＋BG＋EC＝AG＋GF―→―→＝AF，如图中向量AF.

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