1.2.1 充要条件优秀公开课教案

充分条件与必要条件（高中

数学

人教课标A版）

教学目标

1、通过对命题“若p，则q”真假性的判断，归纳出充分条件、必要条件的概念，并通过条件、结论的“关系判断”理解充分条件和必要条件的本质内涵；

2、通过实例中对充分条件和必要条件的判断，提高概念理解、知识应用的能力；

3、在学习中充分感受蕴含在“pq,qp”之间的对立统一的思想. 重点难点

教学重点：充分条件和必要条件概念的理解和判断. 教学难点：必要条件概念的理解和判断. 教学过程：

一、

创设情境，引出新知

在日常生活中，我们经常会遇到这样的情境：

情境1：鱼非常需要水，没了水，鱼就无法生存，但是只有水，鱼也不能生存.由此，我们可以说“水”是“鱼生存”的 条件.

情境2：有一位母亲要给女儿做一件衬衫，母亲带女儿去商店买布，母亲问营业员：“要做一件衬衫，应该买多少布料？”营业员回答：“买三米足够了！”由此，我们可以说“三米布料”是“做一件衬衫”的 条件.

那么如何从数学上来理解充分条件和必要条件呢？这就是我们今天这节课所要研究的内容——充分条件与必要条件(板书课题).

二、归纳叙述，建构新知

问题1：前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，下面请同学们判断下列命题及其逆命题的真假. 【学生先自己独立判断，然后同桌之间可以相互讨论交流】

2（1）p:x1， q:x1. （2）p:x0， q:x5. （3）p:ab0, q:a0.

（4）p:0，

q:cos1. 学生结论：

原命题：（1）（4）是真命题，（2）（3）是假命题

逆命题：（1）（4）是假命题，（2）（3）是真命题

活动1：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题.你是如何判断其真假的呢？

学生结论：判断由p能否推出q，如果p能推出q，则原命题为真命题，否则为假命题.

教师归纳：对于命题“若p，则q”，如果由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，

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则q一定成立。换句话来说，只要有条件p就能够充分地保证结论q成立，这时，我们称p是q成立的充分条件．

1、充分条件定义：一般地，“若p，则q”是真命题，是指由p经过推理能推出q，q这时，我们就说由p可推出q，记作：p，并且说p是q成立的充分条件. 活动2：上述4个命题中，（1）（4）是真命题，你能用充分条件的语言叙述（1）（4）命题中p和q的关系吗？

学生结论：

2（1）“x1”是“x1”成立的充分条件；

（4）“0”是“cos1”成立的充分条件. 活动3：（2）（3）是假命题，但其逆命题却是真命题，你能用充分条件的语言叙述（2）（3）逆命题中p和q的关系吗？

学生结论：

（2）“x5”是“x0”成立的充分条件；

（3）“a0”是“ab0”成立的充分条件. 练习1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x（2）若1，则x3x202；

f(x)x，则f(x)在(,)上是增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数. 分析：在“若p，则q”形式的命题中，如果p是q的充分条件，则命题是真命题，所以只需pq成立即可. 解答：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件.

活动4：你能自己编制一个p是q的充分条件的例子，并总结一下判断p是q的充分条件的方法和歩骤吗？

学生结论：

1.举例子：①若a，b都是偶数，

则a＋b是偶数.②若x10，则x5. 2.判断步骤：找出p,q判断pq是否成立根据定义下结论.

理解升华：前面我们研究了充分条件，那么必要条件又是怎么一回事呢？我们可以从互为逆否的两个命题真假性相同的角度来看，如果pq成立，则它的逆否命题qp也成立，也就是说，如果没有q，也就没有p.或者说，要想p成立，必须要有q成立，所以说q是p成立的必要条件.它只是充分条件的另外一种表述形式，其本质是一样的. 下面你能自己给必要条件下一个定义吗？

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2、必要条件定义：“若立的必要条件. 强调说明：“pqp，则q”是真命题，即pq成立，我们还可以说q是p成”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示. 活动5：上述4个命题中，（1）（4）是真命题，（2）（3）命题的逆命题却是真命题，你能用必要条件的语言叙述这4个命题中p和q的关系吗？

学生结论：

2（1）“x1”是“x1”成立的必要条件；

os（4）“c1”是“0”成立的必要条件；

（2）“x0”是“x5”成立的必要条件；

（3）“ab0”是“a0”成立的必要条件. 练习2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是（1）若xyp的必要条件？

，则x2y2；

（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；

（3）若ab，则acbc. p分析：在“若p，则q”形式的命题中，如果q是以只需pq的必要条件，则命题是真命题，所成立即可. 解答：命题（1）是真命题，命题（2）（3）是假命题，所以命题（1）中的q是p的必要条件.

活动6：你能自己编制一个p是q的必要条件的例子吗？编好之后同桌之间相互交流一下. 学生结论：

举例子：若x5，则x10.

问题2：若p是q的充分条件，p是q的必要条件，q是p的充分条件，q是p的必要条件，你能判断这四种情况分别对应的是p学生结论：

pq还是qp成立呢？

是q的充分条件：p是pqpp成立

成立

成立

成立

qp的充分条件：q是q的必要条件：q是pq的必要条件：pq注意：充分条件是“前”“后”成立；必要条件是“后”“前”成立.

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练习3．判断下列命题的真假. （1）sinsin是的充分条件；

（2）x2是x4x40的必要条件；

（3）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件. 解：命题（1）为假命题，即sinsin. 命题（2）为真命题，即x4x40x2. 命题（3）为真命题，即直线为圆的切线圆心到直线的距离等于半径.

练习4：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？

（1）若两个三角形全等，则这两个三角形相似；

（2）若(xa)(xb)0，则xa；

（3）若a5是无理数，则a是无理数. 解：p是q的充分条件有（1）（3），p是q的必要条件有（2）（3）.我们可以发现“a5是无理数”既是“a是无理数”的充分条件，又是必要条件.（即为充要条件，这是下一节课需要研究的内容，为下节课做准备）

三、归纳小结，反思新知

1.知识：充分条件与必要条件的概念

2.方法：充分条件与必要条件的判断方法

3.思维：严谨缜密的思维习惯

四、课后作业，强化新知

步步高（黄本）第3课时

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