探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教案设计（一等奖）

2.2.2 椭圆的简单几何性质(1) 数学组 郝成勇

一、教材分析

（一）知识点

（1）对焦点在x轴上和y轴是上的椭圆，能写出它们的顶点坐标、焦点坐标、焦距、长轴长、短轴长以及x、y的取值范围；

（2）能根据椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程；

（3）知道椭圆的对称性，能指出它的对称轴和对称中心；

（4）知道椭圆离心率的定义，能根据题意建立a、b、c的关系式求椭圆的离心率或离心率的取值范围．

（5）通过习题练习进一步熟悉椭圆的几何性质；

（6）在解题过程中应该注意焦点的位置，以免遗漏一些特殊情况；

（7）通过练习能总结出求椭圆离心率的常用方法；

（8）能结合向量方法解决一些关于椭圆几何性质的综合问题．

（9）知道直线与椭圆的几种位置关系；

（10）能通过联立方程、判断方一元二次程Δ的方法判定直线与椭圆的位置关系；

（11）进一步体会设而不求的方法；

（12）能用弦长公式解决椭圆中的弦长问题．

（13）知道解决重点弦问题的两种方法，进一步理解设而不求的思想方法；

（14）理解点差法解决中点弦问题的方便之处；

（二）通解通法

1、求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．

2、利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．

3、根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：(1)求出a2，b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．

4、椭圆的离心率的求法

求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：

c(1)若已知a，c，则直接代入e＝求解；

a(2)若已知a，b，则由e＝

b21－a求解；

(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可．

（三）数学思想方法

转化的思想方法、数形结合的思想方法

二、教学目标

1.掌握椭圆的几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题．

2.掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．

3．通过研究直线与椭圆的位置关系培养学生探索问题、解决问题的能力，领悟数形结合和化归等思想．

4．通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程，培养学生观察、分析问题的能力，利用数形结合思想解决问题的能力．

5．通过数与形的辨证统一，对学生进行辨证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．

三、教学重难点

重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．

难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．

本节内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．

四、学生情况分析

对与高二的学生来说，解析几何是难点内容，特别是运算存在很大的问题，学生没有信心，看着解析几何的问题就有一种畏惧心理，首先要让他们突破这种障碍，这节课才会成功，老师的示范是必不可少的。

五、教学过程

（一）、【自主学习】

1、学习目标

（1）对比焦点在x轴上和y轴是上的椭圆，能写出它们的顶点坐标、焦点坐标、焦距、长轴长、短轴长以及x、y的取值范围；

（2）能根据椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程；

（3）知道椭圆的对称性，能指出它的对称轴和对称中心；

（4）知道椭圆离心率的定义，能根据题意建立a、b、c的关系式求椭圆的离心率或离心率的取值范围．

2、知识梳理

椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

范围

顶点

轴长

焦点

焦距

对称性

离心率

3、即学即练

1、求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

x2y2[解]

椭圆方程变形为＋＝1，

94∴a＝3，b＝2，∴c＝

a2－b2＝9－4＝5. x2y2＋＝1(a＞b＞0)

a2b2－a≤x≤a且－b≤y≤b A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b)

y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2－b≤x≤b且－a≤y≤a

A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0) 短轴长＝2b，长轴长＝2a

F1(－c,0)，F2(c,0)

|F1F2|＝2c

对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) ce＝(0

焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，

顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，

c5离心率e＝＝. a3设计意图：利用表格的形式将焦点在x、y轴上的椭圆进行对比，加深学生对性质的理解，在加上“即学即练”，对简单几何性质的理解能够达到一定的程度，若还有疑问可以让学科长记录下来，第二天一起探究。

（二）、【课堂检测】

学生在10分钟内完成

x2y21、已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(

) 10－mm－2A．4

C．7

B．5 D．8 解析：选D

由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是6

m)＝22，得m＝8. 2、若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(

) 1A.

2

B.3

2

C.3

4

D.6

4解析：选A

依题意，△BF1F2是正三角形．

∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴acos 60°＝c，

c11∴＝，即椭圆的离心率e＝，故选A. a22

3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

4(1)长轴长是10，离心率是；

5(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. [解]

(1)设椭圆的方程为

x2y2y2x2＋＝1(a>b>0)或2＋2＝1(a>b>0)．

a2b2ab由已知得2a＝10，a＝5. c4又∵e＝＝，∴c＝4. a5∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. x2y2y2x2∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 259259x2y2(2)依题意可设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

则c＝b＝3，

a2＝b2＋c2＝18，

x2y2故所求椭圆的方程为＋＝1. 189

设计意图：第一题主要考察学生对椭圆长轴、短轴定义的理解，学生很容易把长轴就看出是a，容易题还是要注意陷阱

第二题主要考察数形结合的思想方法，主要看学生对性质的理解

第三题主要考察学生的综合应用能力，注意解题的规范性

小组讨论，核对答案：不会的同学向其他同学请教，每个学习小组将解答题解题过程写在小黑板上，请同学分析解题思路。（15分钟）

三、【当堂训练】（10分钟）

1、中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是(

) x2y2A.＋＝1

8172x2y2C.＋＝1

8145

x2y2B.＋＝1 819x2y2D.＋＝1 81361解析：选A

因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72. 3x2y23、已知点(2,3)在椭圆2＋2＝1上，则下列说法正确的是(

) mnA．点(－2,3)在椭圆外

C．点(－2，－3)在椭圆内

B．点(3,2)在椭圆上

D．点(2，－3)在椭圆上

解析：选D

由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上．

x2y22．直线x＋2y－2＝0经过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离ab心率e＝________. 解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，

∴在直线x＋2y－2＝0中，

令y＝0得c＝2；令x＝0得b＝1. c25∴a＝b2＋c2＝5.∴e＝＝. a525答案：

5设计意图：针对课堂检测的知识点配置该组练习题，小组内核对答案（3分钟）

六、复习小结

1．直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程，利用“Δ”进行判定．求弦长时可利用韦达定理，中点弦问题考虑，使用“点差法”．

2．最值问题转化为函数最值或利用数形结合思想.

七、作业设计

【课后拓展】

x2y21、已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭10064圆C2的焦点在y轴上．

(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；

(2)写出椭圆C2的方程，并求x、y的取值范围、对称轴、顶点坐标及离心率．

x2y2解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，100643(－6,0)，离心率e＝；

5y2x2(2)椭圆C2：＋＝1，

10064性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；

②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；

③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；

3④离心率：e＝. 52、求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．

3(2)离心率e＝，焦距为12. 5x2y2解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，由题意得

ab2a＝5×2b，a＝5，250解得

b＝1.＋＝1，a2b2

x2故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；

25y2x2若焦点在y轴上，设其标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，由题意，得

ab2a＝5×2b，a＝25，025解得

b＝5.＋＝1，22ab

y2x2故所求椭圆的标准方程为＋＝1 62525x2y2x22综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y＝1或＋＝1. 2562525c3(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，

a5则b2＝a2－c2＝64. 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为

x2y2＋＝1；

10064当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为

y2x2＋＝1. 10064

综上所述，所求椭圆的标准方程为

x2y2y2x2＋＝1或＋＝1. 10064100643、A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．

解：如图，连结BF2. ∵△AF1F2为正三角形，

且B为线段AF1的中点，

∴F2B⊥BF1. 又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，

∴|BF1|＝c，|BF2|＝3c. 据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，

c即c＋3c＝2a，∴＝3－1. a∴椭圆的离心率e＝3－1.

设计意图：复习巩固本节的知识点，难度大一点，学生可以课下讨论完成。