1.2.1 充分条件与必要条件优秀教学设计

充分条件与必要条件

学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 一．充分条件与必要条件

1.引入：

命题真假

推出关系

条件关系

“若p，则q”是真命题

p⇒q p是q的充分条件

q是p的必要条件

“若p，则q”是假命题

pq

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？

(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？

[提示]

(1)相同，都是p⇒q

(2)等价

2．充要条件

(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(2)若p⇒q，但q(3)若q⇒p，但p(4)若pq，且qp，则称p是q的充分不必要条件．

q，则称p是q的必要不充分条件．

p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

[提示]

(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

议一议:若p是q的充分条件,p是唯一的吗? 解析】不一定唯一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件. 二．1.充分条件、必要条件、充要条件的判断

例1(1)若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的(

). A.充分条件

B.必要条件

C.既不充分也不必要条件

D.无法判断

集，故选B. 【解析】(1)因为a=1⇒|a|=1,但反过来不一定成立,故选A. (2)判断下列各题中,p是否为q的充要条件? ①若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0. ②p:|x|>3,q:x2>9. 【解析】①若a2+b2=0,则a=b=0,即p⇒q;若a=b=0,则a2+b2=0,即q⇒p,故p⇔q,所以p是q的充要条件. ②由于p:|x|>3⇔q:x2>9,所以p是q的充要条件. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围

例2、已知p:A＝{x∈R|x2+ax+1≤0},q:B＝{x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

【方法指导】先写出p,q,由“p⇒q,但q p”求得a的取值范围.解决这类参数的取值范围问题,可运用集合法求解,即先化简集合A,B,再由它们的因果关系,得到A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,解之即可.

3.充要条件的探求与证明

例3、已知方程x2+(2k－1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件. 【方法指导】思路一:将两个实根都减去1,把已知中的两个大于1的实数根转化为两个都大于0的实数根,即转化为两个数的和大于0同时积也大于0,利用根与系数的关系转化为k的不等式,求出k的范围.思路二:构造相应的函数,结合函数的图象从对称轴与区间的关系、区间两个端点的函数值的符号、判别式三个方面加以限制,写出充要条件.

三．小结