1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计实例

四种命题间的相互关系教学设计

潮州市潮安区宝山中学

林元

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）了解四种命题的概念; （2）能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题；

（3）知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系；

（4) 会利用命题的等价性解决问题。

2、过程与方法

（1）通过实例，使学生对四种命题有具体的理解；

（2）通过特殊例子，让学生理解四种命题的真假的关系。

3、情感与价值

通过让学生理解四种命题及四种命题的真假的关系，培养学生的严密的逻辑推理能力同时培养学生的理性精神。

二、教学重点、难点

重点：1、四种命题的概念

2、写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题

3、知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系

难点：会利用命题的等价性解决问题。

三、学法

学法：学生通过阅读教材，联系学过的数学命题思考、交流，师生共同讨论等从而较好地完成本节课的教学目标。

四、教学过程

1．四种命题的概念及表示形式

①互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。（原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”）

②互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题（原命题为“若p，则q”；否命题为“若﹁p，则﹁q”）

③互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题（原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若﹁q，则﹁p”）

例1：把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否

命题和逆否命题．

(1)相似三角形对应的角相等；

(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；

(3)正方形的对角线互相平分．

解：(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；

逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；

否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；

逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．

(2)原命题：若x>3，则x－4x＋3>0；

逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；

否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；

逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3. (3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；

逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；

逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．

2.四种命题间的相互关系

(1)四种命题之间的关系

(2)四种命题间的真假关系

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

2由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

例2：(1)对于原命题：“已知a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．4个

(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．

解：(1)当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C．

(2)法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0. ∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－4<0，

∴原命题的逆否命题为真命题．

法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．

∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．

3.练习

(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是( ) A．若y≠kx，则x与y成正比例关系

B．若y≠kx，则x与y成反比例关系

C．若x与y不成正比例关系，则y≠kx

D．若y≠kx，则x与y不成正比例关系

(2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．

(3)．判断下列四个命题的真假，并说明理由．

(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；

(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；

(4)“对顶角相等”的逆命题．

4.小结

1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法

1

(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的

条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．

2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：

原词语

否定词语

原词语

否定词语

等于(＝)

不等于(≠)

至少有一个

一个也没有

大于(>)

不大于(≤)

至多有n个

小于(<)

不小于(≥)

任意的

是

不是

都是

至多有一个

不都是

至少有两个

能

不能

任意两个

所有的

某两个

某些

至少有(n＋1)个

某一个(确定的) 3.判断命题真假的方法

(1)解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证。

(2)原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可。

5.作业布置

1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a＋b＋c≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________. 4．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假．

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