1.2.3 空间几何体的直观图课堂实录【3】

1.2.3 空间几何体的直观图

范碧燕 汝城一中

教材分析

本节内容介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形图形直观图的画法，这是画空间几何体直观图的基础.因此，教科书上安排了三个例题用以说明画水平放置的平面图形直观图的方法和步骤.在教学中，引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.而在平面上确定点的位置，可以借助于平面直接坐标系，确定了点的坐标就可以确定点的位置.因此，画水平放置的平面直角坐标系应当是学生首要掌握的.特别需要注意的是应引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系. 课时分配

本节内容用1课时的时间完成，通过情景创设，以讲解画水平放置的正六边形的直观图的过程为例概括出用斜二测画法画几何体的直观图的步骤.在本节课的课堂教学中以学生自己动手用斜二测画法画直观图为主. 教学目标

重 点: 用斜二测画法画空间几何体的直观图. 难 点：绘制空间几何体的直观图时，如何选择恰当的坐标系；直观图和三视图的互化．

知识点：斜二测画法的步骤与规则. 能力点：会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、空间几何体的直观图. 教育点：通过画直观图提高学生识图和画图的能力，培养转化与化归的数学思想方法. 自主探究点：画几何体的直观图的步骤及空间几何体的三视图和直观图的关系. 考试点：斜二测画法的相关应用. 拓展点：直观图和三视图的转化. 教具准备 三角板、圆规. 课堂模式 观察类比、自主探究、合作交流. 自主探究 通过问题一与问题二的求解，由学生自主探究用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何

体的直观图有什么不同？并自主探究总结画几何体的直观图的步骤. 【设计意图】通过两个问题的解决让学生在自主探究的过程中摸索出用斜二测画法画几何体的直观图的过程与步骤。一方面熟悉了用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤，另一方面也锻炼和提高了学生识图和画图的能力，培养了他们的探究精神和意识.由学生自主探究回答问题也便于掌握学生的思维方向，便于针对性的纠正，并高效的总结.

引入新课

问题一：画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关

1

系，怎样画呢？教师指出课题：直观图. 问题二：正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图，那么：

1、如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？

2、上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤. 【师生活动】

1、教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤,让学生发表自己的见解，教师及时给予点评. 2、根据上述画法来归纳斜二测画法的具体步骤. 【设计意图】通过对两个问题的解决，使学生通过观察做平面图形的直观图的过程来总结出斜二测画法的具体关键步骤，为下一步使学生会做出空间几何体的直观图做铺垫.

结论：

1、水平放置的正六边形的直观图的画法：

（1）如图1（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图1(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°.

（2）在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′=1MN.2以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF. （3）连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕.

图1

2、斜二测画法的步骤：

（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段. （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半. 问题三: 3、探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图. 4、用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？并总结画几何体的

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直观图的步骤.【师生活动】

1、教师首先示范用斜二测画法画长方体的直观图，并让学生思考用斜二测画法画空间几何体的直观图的关键步骤,让学生通过合作交流发表自己的见解，教师及时给予点评. 2、根据上述画法来归纳空间几何体的直观图的画法. 3、让学生比较用斜二测画法画平面图形的直观图和空间几何体的直观图两种画法的步骤. 学生：通过小组讨论，由两个小组的学生代表回答讨论结果. 老师：讲评得出的结论．

结论如下：

1、

长方体的直观图的画法：

（1）画轴.如图2，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.

图2 （2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4 cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=3cm.2分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. （3）画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.

（4）成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图. 教师点评：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感.

2、画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系.画几何体的直观图的步骤是：

（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy=90°,∠yOz=90°.（2）画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面. （3）已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. （4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半. （5）擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 二、探究新知

（一）、自主探究：用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？并总结画几何体的直观图的步骤. 结论：画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系.画几何体的直观图的步骤是：

（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy=90°,∠yOz=90°.（2）画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使

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∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面. （3）已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. （4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半. （5）擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. （二）、斜二测画法的作图技巧:

（1）在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等. （2）在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出. （3）在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图. 【师生活动】

学生自主探究，学生回答，教师点评归纳. 【设计意图】通过两个问题的解决让学生在自主探究的过程中摸索出用斜二测画法画几何体的直观图的过程与步骤。一方面熟悉了用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤，另一方面也锻炼和提高了学生识图和画图的能力，培养了他们的探究精神和意识，以及转化与化归的数学思想方法.由学生自主探究回答问题也便于掌握学生的思维方向，便于针对性的纠正，并高效的总结.

三、理解新知

例1 用斜二测画法画水平放置的圆的直观图. 活动：学生回顾讨论斜二测画法的步骤，自己画出来后再互相交流.教师适当点评.

解：（1）如图3(1)，在⊙O上取互相垂直的直径AB、CD，分别以它们所在的直线为x轴与y轴，将线段AB n等分.过各分点分别作y轴的平行线，交⊙O于E，F，G，H，…，画对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°.

图3 (2)如图3(2)，以O′为中点，在x′轴上取A′B′=AB，在y′轴上取C′D′=1CD，将A′B′ 2n等分，分别以这些分点为中点，画与y′轴平行的线段E′F′，G′H′，…，使E′F′=11EF,G′H′=GH，….

22（3）用光滑曲线顺次连接A′，D′，F′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去辅

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助线，得到圆的水平放置的直观图〔图3(3)〕. 点评：本题主要考查用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 变式训练

1.画水平放置的等边三角形的直观图. 答案：略(多媒体展示). 2.关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（ ）

A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变

B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的1

2C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°

D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

分析：在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°，所以C不正确. 答案：C 四、运用新知

(一)

例2 如图4，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

图4

活动：让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征. 教师分析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥. 解：画法：

（1）画轴.如图5（1），画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

(1) (2) 图5

（2）画圆柱的两底面，仿照例2画法，画出底面⊙O.在z轴上截取O′，使OO′等于三视

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图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′（与画⊙O一样）. （3）画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度. （4）成图.连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图5(2)〕. 点评：

空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图. 变式训练

1、所示是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何结构，并画出它的直观图吗？

图6 答案：奖杯的几何结构是最上面是一个球，中间是一个四棱柱，最下面是一个棱台拼接成的简单组合体.其直观图略（多媒体课件展示）. 变式训练

1.如图11所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图.

图7 答案：该几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的简单组合体，其直观图如图12所示，三视图如图13所示.

图8 图9 2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）

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A.16 B.64 C.16或64 D.都不对

分析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64. 答案：C 总结：做题时要注意三视图与直观图之间密切的关系，对斜二测画法画几何体的直观图的步骤做一简单的概括．

五、课堂小结

本节课学习了：

1.直观图的概念. 2.直观图的画法---斜二测画法. 3.直观图和三视图的关系. 4.规律总结：

（1）三视图的排列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样，侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样.正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图，俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等.正视图又称为主视图，侧视图又称为左视图. (2)画三视图时，要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则.若相邻两个几何体的表面相交，表面的交线是它们原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出. (3)用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法就可归结为确定点的位置的画法. (4)如果同一个空间图形摆放的位置不同，那么画出的三视图会有所不同，画出的直观图也是会有所不同. 六、布置作业 1.书面作业

必做题: 1.利用斜二测画法画直观图时：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形. 以上结论中，正确的是___________. 分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错. 答案：①②

2.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（ ）

A.26 B.46 C.3 D.都不对

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分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的22倍，而正三角形的高是3，所以原三角形的高为26，于是其面积为1×2×26=26. 2答案：A 3.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）

A.122 B.1 C.12 D.22

222分析：平面图形是上底长为1，下底长为12，高为2的直角梯形.计算得面积为22. 答案：D 4.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中对应点是M′,则点M′的找法是___________. 分析：在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1=4，在y′轴上取点M2，使O′M2=2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线的交点就是M′.

答案：在x′O′y′中，过点（4，0）和y′轴平行的直线与过（0，2）和x′轴平行的直线的交点即是. 选做题: 1、如图10所示,已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

图10

分析：由这个三视图可以看出，该几何体是由一个长方体和一个以直四棱柱的上底面为底面的四棱锥拼接而成.

图11

解：步骤是：

（1）作出长方体的直观图ABCD—A1B1C1D1，如图11(1)所示. （2）再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立空间直角坐标系，如图11(2)所示，在z′

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上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1、V′B1、V′C1、V′D1得到四棱锥的直观图，如图11（2）. （3）擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图11(3). 七、教后反思 1.由于直观图的画法可以灵活多变，尺寸不作严格要求.因此本节教学设计中没有设计过多地严格按步骤画直观图的题目. 特别是高考中很少见直接考查画直观图的题目，并且高考试题关于立体几何的解答题其直观图通常直接给出，因此本节主要是通过画直观图培养学生的空间想象能力，以及画图和识图的能力.

2. 本节课教学目标明确，围绕一个中心进行拓展讲解，使得学生在学习时能够有的放矢，思路清晰；

3.例题特点突出，能够紧扣本节课的知识大纲，自主探究的模式高效的利用了课堂的有限时间，并且突出了学生的主体地位；

4.问题的设计具有较强的目的性，讲练结合，提高了学生的动手能力；

5.在课堂上留给学生作图及讨论思考的时间还应该在长一点. 八、板书设计

1.2.3 空间几何体的直观图

引例

问题一

问题二

结论：1、斜二测画法.

2、斜二测画法画几何体的直观图的步骤.

例1

例2

小结:

作业:

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