1.2.1 充要条件教学实录及点评

充分条件与必要条件

教学设计

教学内容解析：

逻辑用语被广泛用于日常生活，是语言表达、信息交流的工具，常用逻辑用语是数学语言的组成部分，是描述、判断、推理的工具，数学的大量命题都是使用它们描述的，学习数学离不开常用逻辑用语。常用逻辑用语包括：命题及其关系，简单逻辑联结词，全称量词和存在量词。其中命题及其关系又包含了：会分析四种命题间的关系及会判断一个命题的充分条件和必要条件。充分条件与必要条件这一节课是一节概念课，内容抽象，学生不容易理解，所以在学习本节课内容时，先从同学们身边的实际案例出发，引导学生体会从实际案例中抽象出数学概念的过程和思想，培养学生数学抽象及逻辑推理的素养，同时引导学生充分感受数学是来源于生活，服务于生活的。在学完充分条件与必要条件的定义后，通过对线面垂直的判定定理及性质定理的分析，引导学生理解充分条件与必要条件的在数学的命题中的作用，为后续解决实际的数学问题进行铺垫。

一、教学目标设置：

重点：能从实际案例中抽象出数学的概念，理解充分条件与必要条件的定义；

难点：能从原命题与其逆否命题同真假的角度理解必要条件的意义，会判断一个命题的逻辑关系及能对线面垂直的判定定理和性质定理梳理，总结出判定定理和性质定理与充分条件和必要条件的关系；

本节课通过对案例的引入培养学生数学抽象的素养，由原命题及其逆否命题间的关系引入充分条件与必要条件的定义，通过讨论p和q的逻辑关系，培养学生逻辑推理的能力。

三、学生学情分析：

武汉市实验学校是市级重点高中，每年考入我校的孩子都是中考成绩排明在全市成绩的三分之二之后的孩子，基础很薄弱。所以我在讲解本节课的时候先

引入生活中的两个实例，分析实例，抽象出数学命题，利用两个命题的共同特征总结出命题的条件与结论之间的逻辑关系，再给出充分条件与必要条件的定义，这样学生比较容易接受。然后通过对线面垂直判定定理和性质定理的梳理，帮助学生理解两个定理与充分条件和必要条件之间的联系。再过渡到总结判定定理和性质定理与充分条件和必要条件之间的关系，对于学生来说理解起来就是顺理成章的事情了。在教学过程中，学生通过具体的实例能比较容易的理解“充分”的含义，而对于“必要”的理解，需要教师引导学生从原命题与其逆否命题同真假的角度帮助学生理解。

四、教学策略分析：

在整个教学过程中，坚持教师要始终站在一个引路人的角度，引导学生怎么走，充分体现学生的主体地位，更多的时候培养学生独立思考，主动探究，合作交流的意识。

本节课先复习回顾命题的概念、原命题与其逆否命题的真假关系，为学生分析生活中的实例进行铺垫。引入生活中的实际案例，引导学生从数学案例中抽象出命题，并且引导学生抽象出原命题及其逆否命题，会分析两个命题的条件与结论之间的逻辑关系，培养学生数学抽象的素养，也是让学生感受数学是来源于生活，服务于生活的。对生活中实例的分析：学生能总结出对充分条件的理解：p成立足够的保证q成立，而对于必要条件的理解，教师就要从实例中引导学生从逆否命题角度理解：q 不成立,p一定不成立，即p成立必须具备q成立。在给出充分条件与必要条件的概念后，教师引导学生理解推出符号的意义，强调两个概念之间的联系，同时教师要给与学生足够的时间研究p和q的逻辑关系，这样做培养学生分析问题、解决问题及逻辑推理的能力，也是为了考查学生对“”的理解。最后通过例1的处理，考查学生对充分条件与必要条件概念的理解，也是为了培养学生语言表达的能力。

五、教学过程设计：

(一)

复习回顾：

1.什么是命题？2.若p则q真假不好判断时，你有其它的方法吗？

师生活动：学生答，教师点评；教师注意命题概念的关键词；

设计意图：复习回顾命题的相关概念，为学生要判断案例的分析进行铺垫；

（二）、新课讲解：

1.案例分析：珠宝店被盗，警方通过看监控回放时发现案件发生时，罪犯就在现场，并发现如下线索：(1)甲、乙、丙三人至少有一个人是罪犯；(2)如果甲是罪犯，则乙一定是同案犯；(3)盗窃在发生时，乙在咖啡店喝咖啡，由此可推出（

）

是罪犯；

师生活动：学生读题并回答谁是罪犯，并找学生说明理由；

师问：对上述案例的分析，你能抽象出几个命题？命题的条件和结论分别是什么？是真命题还是假命题？若用p：甲是罪犯，q:乙是同案犯，则上述两个命题该如何用符号表示？p和q具有什么关系？

生答：学生回答问题，教师总结；引出课题

设计意图：创设适切的教学情境，引导学生表达相应的数学内容，通过实际案例的引入,吸引学生的注意力,增强学生的学习兴趣;同时培养学生数学抽象的素养，引导学生感受到数学来源于生活，服务于生活，为充分条件与必要条件定义的给出进行铺垫；

2.实例引入：(1)判断语句：“高中生是学生”这句话是命题吗？条件p和结论q分别是什么？真命题还是假命题？p和q具有什么关系? （2）上述命题的逆否命题是什么？条件和结论分别是什么？是真命题还是假命题？p和q具有什么关系？

师生活动：生答：“高中生是学生”是命题;条件：一个人是高中生；结论：这个人是学生；是真命题，若p，则q，即p成立，q就成立；“高中生是学生”的逆否命题：若一个人不是学生，则这个人不是高中生；条件：一个人不是学生；结论：这个人不是高中生；是真命题，q能推出p，q不成立，则p就不成立；即p成立必须具备q；

设计意图：通过实例的引入，引导学生会分析实例的条件与结论之间的逻辑关系，从逆否命题的角度对必要条件意义的理解，为后续给出充分条件与必要条件的定义进行铺垫；

3.通过对上述两个实例的分析，你能发现这两个实例有什么共同特征？

师生活动：学生答，教师点评；

设计意图：培养学生归纳总结的能力，为给出充分条件与必要条件的定义进行

铺垫；

4.给出充分条件与必要条件的定义，并解释充分条件与必要条件的概念中“”的意义，并用定义解释警方所给案例中的p与q的逻辑关系；

师生活动：师说：若p，则q是真命题，就是看p能推出q，在这里p是条件，q是结论，p是q的成立的足够的条件即p是q的充分条件，同时q是p成立的必须具备的条件，即q是p的必要条件；两者同时出现；请同学们注意推出符号的方向，顺着箭头推是：充分，逆着箭头推是：必要；

生答：甲是罪犯是乙是同案犯的充分条件；乙是同案犯是甲是罪犯的必要条件；

设计意图：养成学生用逻辑用语表达和交流的习惯；

5.细化充分条件与必要条件的定义：

师生活动：师问：请同学们再来看一个语句：“学生是高中生”这句话是命题吗？条件和结论分别是什么？真命题还是假命题？若用一个人是高中生表示p，一个/ p表示什人是学生表示q，该命题的逻辑关系该怎么表示呢？此时

pq,q么逻辑关系呢？

设计意图：引导学生细化充分条件与必要条件的定义，培养学生的逻辑推理能力；

6.研究p和q其它的逻辑关系；

师生活动：给学生足够的时间，小组讨论，给出p和q的其它的逻辑关系；

设计意图：考查学生对充分条件及必要条件定义的理解及学生的逻辑推理能力；7.判定定理与性质定理和充分条件与必要条件的关系；

判断下列语句是否为命题，如果是，请找出命题的条件和结论，并判断条件与结论之间的逻辑关系. （1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；

（2）垂直于同一个平面的两条直线平行；

师生活动：学生解答,教师点评；归纳总结出：线面垂直的判定定理给出了线面垂直的充分条件；线面垂直的性质定理得出了线面垂直的必要条件；进而总结出所有的判定定理给出了结论成立的充分条件，所有的性质定理给出了结论成立的必要条件；

设计意图：通过对典型命题的梳理，考查同学们对充分条件与必要条件意义的

理解，同时培养学生对数学概念、命题的联系性和内在性的一致的认识；

8.课堂反馈：例1.填空，并说明理由；

(1)ab是偶数是a和b都是偶数的(2)m1是方程x22xm0的(3)x2是x33x的条件；条件；条件；

(4)直线l垂直于ABC的边AB,AC是直线l垂直于ABC的边BC的师生活动：给学生足够时间解决上述问题，并找学生阐述理由；

条件；设计意图：加深学生对充分条件和必要条件概念的理解，培养学生分析问题、解决问题及逻辑推理的能力；

8、思考题：从集合的观点解释充分条件与必要条件；

例2：0x5是|x-2|3

条件；设计意图：研究一个命题的条件与结论之间的逻辑关系，可以从不同的角度理解。

9.

本堂课你有哪些收获？

师生活动：学生总结本堂课的收获，教师点评；

设计意图：对本堂课内容的回顾；

通过本节课的学习，引导学生体会将实际案例抽象出数学概念的过程和思想，培养学生数学抽象的素养，同时引导学生感受数学是来源于生活，服务于生活的；通过对充分条件和必要条件的判断，培养同学们分析问题，解决问题及逻辑推理的能力；通过本节课的学习，促进学生养成用逻辑用语及数学符号表达、交流的习惯；