1.2.1 充要条件第二课时教案

1.2.2 充要条件

1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.(重点) 2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.(重点) 3.通过对充分条件、必要条件概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳逻辑思维的能力.(难点)

教材整理1

充分条件与必要条件

阅读教材P9“例1”以上部分，完成下列问题. 命题真假

“若p，则q”是真命题

推出关系

条件关系

p________q p是q的______条件

q是p的______条件

“若p，则q”是假命题

p________q

p不是q的______条件

q不是p的______条件

【答案】

⇒

⇒/

充分

必要

充分

必要

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(

) (2)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立.(

) (3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立.(

) 【答案】

(1)√

(2)√

(3)×

教材整理2

充要条件

阅读教材P11“例3”以上部分，完成下列问题. 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的________条件，简称________条件. 概括地说，如果p⇔q，那么p与q________条件. 【答案】

充分必要

充要

互为充要

下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号).

(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c. 【解析】

在(1)(3)中，p⇔q，所以(1)(3)中p是q的充要条件，在(2)中，q⇒p，所以(2)中p不是q的充要条件.

【答案】

(1)(3)

[小组合作型] 充分条件、必要条件、充要条件的判断

指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

a(4)p：a＜b，q：b＜1. 【精彩点拨】

主要是判断命题“若p则q”“若q则p”的真假.从而确定p是q的什么条件，当p、q是否定形式，可判断﹁q是﹁p的什么条件.

【自主解答】

(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件.

(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即﹁q⇒﹁p，但﹁p⇒﹁q，所以p是q的充分不必要条件.

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件.

a(4)由于a＜b，当b＜0时，b＞1；

aa当b＞0时，b＜1，故若a＜b，不一定有b＜1；

a当a＞0，b＞0，b＜1时，可以推出a＜b；

a当a＜0，b＜0，b＜1时，可以推出a＞b.

因此p是q的既不充分也不必要条件.

1.判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件.要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定. 2.充分条件与必要条件的判断方法

(1)定义法

(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题. (3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况. 若﹁p⇒﹁q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

若﹁p⇒﹁q，且﹁q⇒/﹁p，则p是q的必要不充分条件；

若﹁p⇔﹁q，则p与q互为充要条件；

若﹁p⇒/﹁q，且﹁q⇒/﹁p，则p是q的既不充分也不必要条件. (4)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度.

[再练一题] 1.已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 则p是q的________条件. 【解析】

因为p：x＝1且y＝2，则p⇒q，

又因为q：x＝1或y＝2，当x＝1，y≠2时，(x－1)2＋(y－2)2≠0，故q⇒p.

因此p是q的充分不必要条件.

【答案】

充分不必要条件

充分条件、必要条件、充要条件的应用

x－1≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充

已知p：1－3分不必要条件，求实数m的取值范围. 【精彩点拨】

先解出两个不等式，由p是q的充分不必要条件可得p⇒q，q⇒/p.从解集的角度出发，p对应的集合要真包含于p对应的集合，从而建立关于m的不等式组，解出m的范围.

x－1≤2，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0}，则【自主解答】

设A＝x1－3AB.

x－1≤2⇔－2≤x≤10，

解不等式1－3解不等式x2－2x＋1－m2≤0⇔1－m≤x≤1＋m(m>0)，∵p⇒q且q⇒/p，

1＋m≥10，1＋m>10，故AB，则或

1－m<－2，1－m≤－2，∴m≥9.