3.1.3 空间向量的数量积运算教学内容

3.1.3空间向量的数量积运算

主备教师：王天君

2课时

来源学&科&网一、

内容及解析

空间向量的数量积是在学生学***面向量的数量积的基础上对知识的巩固和加深。掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题. 二、内容及解析

目标定位：掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；

目标解析：空间向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，

即

a·b＝|a||b|cos＜a,b＞. 空间数量积的性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；

当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2.

⑷cos＜a,b＞＝abab;

⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜. 三、问题诊断

学生在学习中已经学***面向量的数量积，可能会形成对新知识的干扰，教学中要注意新旧知识的联系与区别。

四、教学支持条件 尺规、多媒体

五、

教学过程：

复***面向量数量积定义？

（平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.）

问题：空间向量的数量积与平面向量数量积的异同？空间向

量的数量积应注意哪些知识点？

问题1：两个向量的夹角如何定义？

解析：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，

记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0＜a，b＞．＜a、b＞＝０时，a与b同向；

当＜a、b＞＝π时，a与b反向；

当＜a、b＞＝时，称a与b垂直，记a⊥b．

2

⑵

两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶

注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

②＜a,b＞(a,b) 问题2：怎样定义两个向量的数量积？

解析：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos＜a,b＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；

⑵符号“·

”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 问题3：空间向量的数量积几何意义的理解？

解析：已知向量AB＝a和直线l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上的射影′，则A'B'叫做向量简称射影．可以证明：A'B'AB在轴l上或在e方向上的正射影，＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．

问题4：空间数量积的性质？

解析：空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；

当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2.

⑷cos＜a,b＞＝abab;

⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜. 问题5：

空间向量数量积的有哪些运算律？

解析：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)；

⑵

a·b＝b·a (交换律)；

⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律) 说明：

⑴(a·b)c≠a（b·с）；

⑵有如下常用性质：a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b＋b2

例题：课本P98例2、设计意图：数量积性质、运算律的应用

变式训练：例3

六、课堂小结

1、空间向量a、b的数量积？

2、空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；

当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.

特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2.

⑷cos＜a,b＞＝abab;

⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜. 七、目标检测

课本92页练习

八、配餐作业

A组

1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( ) A．充分不必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

答案 A

解析：

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b| ⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，

当a与b反向时，不能成立．

2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( ) A.7 B.10 C.13 D．4 答案 C 解析：|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6·cos60°＋9＝13.

3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( ) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

答案 B 解析：A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0，b＝0. C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b. D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c. 4．已知四边形ABCD满足：－*6]··>0，·>0，·>0，·－*6]·>0，则该四边形为( ) A．平行四边形 B．梯形

C．平面四边形 D．空间四边形

答案 D

[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com][来源:Z.xx.k.Com]

5．已知a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案 B B组

6．已知向量a、b满足条件：|a|＝2，|b|＝2，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．

答案 45°

解析：

因为a与2b－a垂直，所以a·(2b－a)＝0. 即2a·b－|a|2＝0，所以2|a||b|·cos〈a，b〉－|a|2＝0，

2所以42cos〈a，b〉－4＝0⇒cos〈a，b〉＝，

2所以a与b的夹角为45°. 7. 已知线段AB,BD在平面α内,∠ABD=120°,线段AC⊥α,如果AB=a,BD=b,AC=c,则| CD |为____________．

答案 a2＋b2＋c2＋ab

解析 |CD|2＝|AB＋－|2＝AB2＋2＋2＋2AB·－2AB·－2·

＝a2＋b2＋c2＋2abcos60°＝a2＋b2＋c2＋ab. |CD|＝a2＋b2＋c2＋ab.＝a2＋b2＋c2＋ab. 8．已知|a|＝32，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________. 3答案 －

2解析 由m·n＝0，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，

3列方程解得λ＝－. 2C组

9. 如图，已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量A1C1与DE所成角的余弦值.

[来源:学科网ZXXK]

解 设正方体的棱长为m，

AB＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝m. a·b＝b·c＝c·a＝0. 又∵A1C1＝＋＝AB＋＝a＋b，

11DE＝＋＝＋＝c＋a. 221∴

A1C1·＝(a＋b)·(c＋a) 21211212＝a·c＋b·c＋a＋a·b＝a＝m. 2222又∵| A1C1|＝2m，||＝2m，

∴cos〈A1C1

，

〉= 12m2A1C1DE

|A1C1|?|DE|10＝＝. 1052m·m2

九、授后反思