3.1.3 导数的几何意义教学实录与评析

3.1.3

导数的几何意义

一．【学习目标】

1.理解函数切线的定义，掌握函数导数的几何意义

2.会用函数导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程

二．【重点难点】弄清函数在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)的区别与联系，会求导函数．

重点：难点：根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

三．【学情分析】

1、学习时，应先通过具体实例，理解函数的平均变化率这一概念，由实例提炼

出导数的概念 ；

2、要认清导数实质是增量的变换。[来源:Z§xx§k.Com]

四．【回顾】

1.函数的平均变化率

对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x，x，当自变量x从x变为x时，函1212数值从f(x)变为f(x)，我们把式子12yf(x2)f(x1)称为函数y＝f(x)从x到1xx2x1x的平均变化率．

22.平均变化率的几何意义

平均变化率的几何意义表示点（x1,f(x1)),(x2,f(x2))之间的连线的斜率。

limΔy3.

导数的概念：一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是ΔΔx＝x→0f(x0x)f(x0)，我们称它为函数f＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f'(x0)或xlimΔylimf(x0x)f(x0)

. y'|xx0，即f′(x0)＝ΔΔx＝Δx→0x→0x五．引入新知

思考：我们知道，导数f'(x0)表示f(x)在xx0处的瞬时变化率，放映了函数f(x)在xx0附近的变化情况.那么，导数f'(x0)的几何意义是什么呢？

观察：当点Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

对于割线PP，当点P趋近于点P时，割线PP趋近于确定的位置，这个确nnn定位置的直线PT称为点P处的切线．

结论：导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的__斜率，也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是k=limx0f(x0x)f(x0)f'(x0)．相应地，切线方程为yy0f'(x0)(xx0)．

xnn思考1：割线PP的斜率k与切线PT的斜率k有什么关系？

提示：割线PPn的斜率是Knf(xn)f(x0)，当点Pn沿着曲线无限接近点Pxnx0时，Kn无限地接近切线PT的斜率K. 思考2：本节定义的切线与以往学习的切线的定义有什么不同之处？

提示：这里是利用极限思想，即用割线的极限位置定义曲线的切线．这种定义曲线切线的方法适用于各种曲线．

思考3：函数的切线与函数的图象只有一个交点吗？

提示：不一定，如下图所示，可知切线与函数的图像不一定仅有一个交点.

一、导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的__斜率，也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是k=limx0f(x0x)f(x0)f'(x0)．相应地，切线方程为yy0f'(x0)(xx0)．

x二、导函数的概念[来源:学|科|网]

(1)定义：当x变化时,

f'(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．

(2)记法：f'(x)或y'，即f'(x)＝y'＝lim[知识点拨] “函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系

(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数值的增量与自变量的增量的比的极限，它是一个数值，不是变量．

(2)导函数的概念是针对某一区间内任意点而言的．函数f(x)在区间(a,b)

内每一点都可导，是指对于区间(a,b)内每一个确定的x0，都对应着一个确定的导数根据函数的定义，在开区间(a,b)内就构成了一个新的函数，即函数f(x)f'(x0)，的导函数f'(x)．

(3)函数yf(x)在xx0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，即f'(x0)f'(x)|xx0. 题型1：求曲线的切线方程

14例1、

已知曲线C:yx3，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．

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【归纳总结】1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤

x0f(xx)f(x). x

2．求过曲线yf(x)

外一点P(x1,y1)的切线方程的六个步骤

(1)设切点(x0,f(x0))．

(2)利用所设切点求斜率k. (3)用（x0,f(x0)),P(x1,y1)表示斜率．

(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k. (5)根据点斜式写出切线方程．

(6)将切线方程化为一般式．

【巩固提高】

例2、

已知曲线yx2，

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.

题型2：求切点坐标

例3.已知抛物线y2x31分别满足下列条件，请求出切点的坐标．

(1)切线的倾斜角为45°.

(2)切线平行于直线4xy20 . (3)切线垂直于直线x8y30.

【归纳总结】求切点坐标可以按以下步骤进行

(1)设出切点坐标；

(2)利用导数或斜率公式求出斜率；

(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；

(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．

巩固提高：

2、直线l:yxa(a0)和曲线C:yx3x21相切，则a的值为___________，切点坐标为____________．

【当堂练习】

1.已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(

) A.4

B.16

C.8

D.2 2.若曲线

yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则

(

) A.

a1,b1

B.

a1,b1

D.

a1,b1

C.

a1,b1

3.已知曲线y2x24x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________.

课堂小结：

一个概念：曲线在某点的切线

两种题型：（1）求切线；（2）求切点

三种思想：无限逼近；以直代曲；数形结合.