3.1.2 导数的概念教案设计

第1课时

导数的概念及运算

【学习目标】

1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式(c，x(m为有理数)，sinx，cosx，e，a，lnx，logax的导数)，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

【预习案】

1、导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，

f（x0＋Δx）－f（x0）即f′(x0)＝

. Δx(2)当把上式中的x0看做变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′f（x＋Δx）－f（x）(x)＝

. Δx2、导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

3、基本初等函数的导数公式

4、两个函数的四则运算的导数

若u(x)，v(x)的导数都存在，则

(1)(u±v)′＝u′±v′；

(2)(u·v)′＝u′v＋uv′；

uu′v－uv′(3)()′＝(v≠0)；

2vv(4)(cu)′＝cu′(c为常数)．

预习检测

1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．

(1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．

(2)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．

mxx

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．

(5)若f(x)＝a＋2ax－x，则f′(x)＝3a＋2x. 题型一

导数的概念

例1利用导数定义求函数f(x)＝x在x＝1处的导数．

f（1＋Δx）－f（1）1＋Δx－1【解析】

f′(1)＝

＝

ΔxΔx（1＋Δx－1）（1＋Δx＋1）11＝

＝

＝. Δx（1＋Δx＋1）1＋Δx＋121【答案】

2★规律总结★

导数定义探究

Δy(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的平均变化率当Δx→0时极限是Δx否存在．

(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，再算比值f（x＋Δx）－f（x）Δy，再求极限y′＝lim. ΔxΔxΔx→0(3)导数定义中，x在x0处增量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题要将分子分母中增量统一为一种．

(4)导数定义lim

Δx→0322Δy＝Δxf（x0＋Δx）－f（x0）f（x）－f（x0）＝f′(x0)，也即lim＝f′Δxx－x0Δx→0(x0)．

变式训练1 设f(x)＝x－8x，则

f（2＋Δx）－f（2）＝________；

ΔxΔx→0limf（2－Δx）－f（2）＝________；

ΔxΔx→0limf（x）－f（2）lim＝________．

x－2x→23

题型二

导数的基本运算

例2求下列函数的导数：

(1)y＝(3x－4x)(2x＋1)；

(2)f(x)＝xsinx；

(3)y＝3e－2＋e；

lnx(4)y＝2. x＋1【解析】

(1)方法一：y＝(3x－4x)(2x＋1) ＝6x＋3x－8x－4x，∴y′＝24x＋9x－16x－4. 方法二：y′＝(3x－4x)′·(2x＋1)＋(3x－4x)(2x＋1)′

＝(9x－4)(2x＋1)＋(3x－4x)·2 ＝24x＋9x－16x－4. (2)f′(x)＝(x)′sinx＋x(sinx)′＝2xsinx＋xcosx. (3)y′＝(3e)′－(2)′＋e′＝(3)′e＋3(e)′－(2)′

＝3ln3·e＋3e－2ln2＝(ln3＋1)·(3e)－2ln2. （lnx）′（x＋1）－lnx·（x＋1）′(4)y′＝

22（x＋1）12·（x＋1）－lnx·2x22xx＋1－2x·lnx＝＝. 2222（x＋1）x（x＋1）【答案】

(1)y′＝24x＋9x－16x－4 (2)f′(x)＝2xsinx＋xcosx (3)y′＝(ln3＋1)·(3e)－2ln2 x＋1－2x·lnx(4)y′＝

22x（x＋1）★规律总结★

导数的计算方法

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．

(3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．

(4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．

变式训练2 求下列函数的导数．

(1)f(x)＝(x＋1)(2x＋8x－5)；

3222xx23222xxxxxxxxxxxxxxx222322333432323xxx23

1＋x1－x(2)f(x)＝＋；

1－x1＋xlnx＋2(3)f(x)＝；

2xx2x(4)y＝－sin(1－2cos)．

24【解析】

(1)∵f′(x)＝(2x＋8x－5x＋2x＋8x－5)′，

∴f′(x)＝10x＋32x－15x＋4x＋8. 1＋x1－x（1＋x）（1－x）(2)∵f(x)＝＋＝＋

1－x1－x1－x1＋x＝2＋2x4＝－2，

1－x1－x224325432x4－4（1－x）′4∴f′(x)＝(－2)′＝＝22. 1－x（1－x）（1－x）lnx2lnx2(3)f′(x)＝(2＋2)′＝(2)′＋(2)′

xxxx12·x－lnx·2xx2x2（ln2·x－2x）＝＋

44xx（1－2lnx）x＋（ln2·x－2x）·2＝

4x1－2lnx＋（ln2·x－2）2＝

3x【答案】

(1)f′(x)＝10x＋32x－15x＋4x＋8 4(2)f′(x)＝2

（1－x）1－2lnx＋（ln2·x－2）2(3)f′(x)＝

3x111(4)y′＝(sinx)′＝(sinx)′＝cosx. 222

题型三

导数的几何意义(微专题) 微专题1：求曲线的切线方程

例3已知曲线y＝x－2x. (1)求曲线在点P(1，－1)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(1，－1)的切线方程．

3x432x2xxx

【解析】

(1)∵y′＝3x－2，

∴在点P(1，－1)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝1. ∴曲线在点P(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0. (2)设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x0－2.故切线方程为y－y0＝(3x0－2)(x－x0)．

即y－(x0－2x0)＝(3x0－2)(x－x0)．

又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，

得－1－(x0－2x0)＝(3x0－2)(1－x0)．

1解得x0＝1或x0＝－. 25故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．

4即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. 【答案】

(1)x－y－2＝0 (2)x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0 ★规律总结★

求曲线的切线方程的两种类型

(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．

(2)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：

第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；

第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；

第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；

第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线

变式训练3 (1)(2018·四川成都诊断)曲线y＝xsinx在点P(π，0)处的切线方程是(

) A．y＝－πx＋π

＋π

C．y＝－πx－π －π

134(2)求过点(2，4)的曲线y＝x＋的切线方程．

33当堂检测:

22223232222B．y＝πxD．y＝πx

1．计算：

(1)(x－3x＋1)′＝________；

(2)(xe)′＝______；

(3)(sinx·cosx)′＝______；

1(4)()′＝________．

lnx答案

y＝x＋1 122．(2017·课标全国Ⅰ，文)曲线y＝x＋在点(1，2)处的切线方程为________．

x11解析

因为y′＝2x－2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y′|＝2×1－2x1x＝1＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.

x43