1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案和学案内容

一、选择题

1．已知某几何体的三视图（单位：

cm）如图所示，则该几

何体的体积是

33A. 84cm

B. 92cm

C. 100cm3

D. 108cm3

【答案】C

2．【庄河市高级中学2018届高三开学考】已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

因为

为等腰直角三角形，所以AC为截面圆的直径，故该三棱锥的外接球的球心O在截面ABC中的射1

影为AC的中点D，当P,O,D三点共线且P,O位于截面同一侧的棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为所以由勾股定理得，求出，解得，设外接球的半径为则,所以外接球的表面积为,在，选D. 中，，,点睛：本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算，属于中档题。本题关键是由已知条件，画出草图。

3．【2018届高考全国卷26省9月联考】若正四棱锥PABCD内接于球O，且底面ABCD过球心O，设正四棱锥PABCD的高为1，则球O的体积为（

）

A. 422

B. 

C. 4

D. 

332【答案】A

【解析】由题意可得，正方形ABCD的外接圆是大圆，所以半径为1，

V44R3。选A.学#科网

334．【穆棱市2016-2017学年高一期末】棱长分别为1,3,2的长方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为（ ）

A. 8273

B. 32

C.

D. 43

33【答案】A

点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 5．【深圳市宝安中学2016-2017学年高一期中】某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图②，其中O1A16,OC112,则该几何体的体积为

2

A. 32

B. 64

C. 162

D. 322

【答案】D

点睛：在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来的二分之一。斜二侧画法的面积是原来图形面积的2倍。

44BC8，现沿AC折起，使36．【林州市第一中学2018届高三调研】如图，已知矩形ABCD中，

AB得平面ABC平面ADC，连接BD，得到三棱锥BACD，则其外接球的体积为（ ）

A. 5002501000500

B.

C.

D.

9333[来源:学§科§网]【答案】D

【解析】结合几何体的特征可得，外接球的球心为AC的中点，则外接球半径：

R112AB2BC28625，

223

则外接球的体积：

V4500R3. 33本题选择D选项.

学%科网

点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 7．【安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联盟2018届高三摸底考】如图，某几何体的三视图是三个半径为2的圆及其部分，其中半径

垂直，均为直径，则该几何体的体积是（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

点睛：三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．

(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，

4

然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．学&科网

8．【孝义市2018届高三上学期开学考】已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )

A. 

B. 3

C.

D. 6

42【答案】D

9．【郑州市第一中学2018届高三入学考】某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率新工件的体积）（ ）

原工件的体积

4816A.

B.

C. 99【答案】A

213

D. 12213

【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为，，，长方体上底面截圆锥的截面半径为，则的轴截面如图所示，则可知

，如下图所示，圆锥，

5

[来源:Z|xx|k.Com]

考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.学&科网

【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.

二、填空题

10．【北京市怀柔区2016—2017学年度期末】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．

【答案】22

【解析】依题意有体积为3201183201.6222（斛）米.，故一共有85π3π323π2[来源:Z§xx§k.Com]

6

11．【郑州市第一中学2017-2018高三】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．

【答案】80

3

12．【铜陵市2016-2017学年高一期末】半径为3相等，则长方体的表面积为_____.

【答案】88. 【解析】试题分析：设该长方体的高为x,则因为半径为336的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积36的球的体积为V43436r48，所33以V64x48，即x2，所以长方体的表面积为S(242646)288，故应填88. 考点：1、简单几何体的体积的求法. 学科*网

13．【滁州市九校2016-2017学年高二联考】在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，

G为PB的中点，则三棱锥DGAB与三棱锥PGAC体积之比为__________．

：

【答案】11【解析】

7

三、解答题

14．【2016-2017学年安徽省六安市第一中学高一】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，

MA平面ABCD，

PD//MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.

（1）求证：平面EFG//平面PMA；

（2）求证：平面EFG平面PDC；

（3）求三棱锥PMAB

(3)解：∵PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA1，则PDAD2.

∵DA平面MAB，且PD//MA，

∴DA即为点P到平面MAB的距离，学科%网

8

∴VPMAB:VPABCD111SMAB?DA:S正方形?PDSMAB:S正方形ABCD12:221:4.

33215．【穆棱市2016-2017学年高一期末】在正方体ABCDA得到一个几何体M，1BC11D1中挖去一个圆锥，已知圆锥顶点为正方形ABCD的中心，底面圆是正方形A1B1C1D1的内切圆，若正方体的棱长为acm.

(1)求挖去的圆锥的侧面积；

(2)求几何体的体积.

【答案】(1)

522acm.(2)

4331acm.

12【解析】试题分析：（1）求出圆锥的底面半径r和母线l，利用公式侧面积为rl即可；

（2）正方体体积减去圆锥的体积即可.

16．【广州市广东仲元中学2016-2017学年高二期末】五边形ANB1C1C是由一个梯形ANB1B与一个矩形BB1C1C组成的，如图甲所示，B为AC的中点，

ACCC12AN8．

先沿着虚线BB1将五边形ANB1C1C折成直二面角ABB1C，如图乙所示．

（Ⅰ）求证：平面BNC平面C1B1N；

（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．

9

【答案】（1）证明详见解析；（2）V160．

3【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、锥体的体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力．第一问，由四边形BB1C1C为矩形，得B1C1BB1，再由直二面角，得B1C1BN，再由勾股定理得BNNB1，利用线面垂直的判定，得BN

平面C1B1N，最后利用面面垂直的判定，得平面BNC平面C1B1N；第二问，把图乙中的多面体拆成两个几何体，一个是锥体CABN，一个是锥体NB1C1CB，利用锥体体积公式分别计算，再求和即可．

试题解析：（1）证明：四边形BB1C1C为矩形，故B1C1BB1，又由于二面角ABB1C为直二面角，故B1C1平面BB1A，故B1C1BN, 由线段ACCC12AN8易知，

BB12NB12BN2，

即BNNB1，因此BN

平面C1B1N，

所以平面BNC

平面C1B1N；（5分）

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、锥体的体积．学科*网

17．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三联考】如图1，

AFA1中，

FAFA1,AA18，CF2，点B,C,D为线段AA1的四等分点，线段BE,CF,DG互相平行，现沿BE,CF,DG折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面ABCD为正方形.

10

（1）证明：

A,E,F,G四点共面；（2）求四棱锥BAEFG的体积.

【答案】（1）见解析；（2）

4.

3【解析】试题分析：（1）取FC中点M,连接EM,DM,易得EM||BC，可得四边形AEMD为平行四边形，进而可证得A,E,F,G四点共面；

（2）利用VBAEFGVBAEGVBEFGVGAEBVGEFB即可求体积.

(2)

11

如图，

VBAEFGVBAEGVBEFGVGAEBVGEFB224

333中，底面为菱形，为与18．【湖北省部分重点中学2018届高三起点考】如图所示，在四棱锥的交点，平面，为平面；

，，，求三棱锥中点，为中点．

（1）证明：直线（2）若点为中点，的体积．

【答案】（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往利用平几知识，如本题利用三角形中位线性质及平行四边形性质，取位线性质得，，因此，故四边形中点，由三角形中（2），所以为平行四边形，即得平面求三棱锥体积，关键确定高，可利用等体积法转化易求高的三棱锥：由于

【解析】试题分析：（1）设形中点为，连结，，先利用中位线定理证明，结合已知可得四边为平行四边形，进而，由线面平行的判定定理可得结论；（2）先利用等积变换得，再利用棱锥体积公式可得结果.学@科网

12

（2）由已知条件得，所以，

所以．

考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式. 19．【吉林省辽源第五中学2016-2017学年高二期末考】在长方体点，，过．

中，分别是的中，三点的的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体且这个几何体的体积为

13

（1）求证：（2）求平面；

的长；

上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明（3）在线段理由．

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【解析】试题分析：(1)证得(2)利用等体积转化,过作是平行四边形,得出线线平行,利用线面平行的判定定理证明命题成立；,求出,推出,证明；(3)在平面,推出中作相似于,求得. 试题解析：解：（1）在长方体中，可知，由四边形是平行四边形，所以.因为分别是的中点，所以，则，

又面面，则平面．．．．．．．．．．．．4分

，

14 （2）∵

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

考点：1.线面平行的判定定理；2.等体积求点线距；3.三角形相似.学科@网

20．【铜陵市2016-2017学年高一期末】已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为5,34,41.

（1）求该四面体的体积；

（2）求该四面体外接球的表面积.

【答案】（1）20（2）50

【解析】试题分析：

(1)将四面体放入一个长方体，列出方程求得长宽高，据此可得该四面体的体积是20；

(2)结合(1)的结论可得外接球半径为r522，则外接球的表面积为S4r50. 2

15

（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体的体对角线长a2b2c252，

外接球的半径为r52，

2外接球的表面积为S4r250. 21．【四川省树德中学2016届高考适应性测试】如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点E,F,G分别是AB,OD,BC的中点.

（Ⅰ）证明：

OD平面EFG；

（Ⅱ）求三棱锥OEFG的体积.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）连结由三线合一得出

1. 2，通过勾股定理计算可知平面；（Ⅱ）根据中位线定理计算得出，是16

边长为的正三角形，以为棱锥的底面，则为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算. （Ⅱ）侧棱OB底面ABCD, BD面ABCD



OB

BD

OB2,DB22



OD23

由（Ⅱ）知：

OD平面EFG,是三棱锥O到平面EFG的距离

F分别是OD的中点, OF3，

DEOE5,

EFOD,

EF2

DGDG5,

FHOD



FG2

四边形ABCD是边长为2的正方形，

E,G是AB,BC的中点



EG2

三角形EFG是等边三角形

S3EFG2

V11GEOFV0EFG3Sh2学%科网

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定. 22．【三明市2016-2017学年高一期末】在中，,

（1）若，，将绕直线旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的体积；

（2）设是的中点，，，求的面积.

【答案】(1).(2).

17

【解析】（1）过作则在在将中，中，绕，，垂足为，

，，，

[来源学_科_网Z_X_X_K]

为底半径，以为高的两个圆锥，所以体积为所在直线旋转一周所成的几何体是以

.

，，

.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

18

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果. AB2，

AA13，

23．【三明二中2016-2017学年高一阶段考】如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，

D,E分别为AC1和BB1的中点.

（1）求证：

DE//平面ABC；来源学&科&网

（2）若F为AB中点，求三棱锥FC1DE的体积.

【答案】（1）见解析（2）3

8

试题解析：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接BG和DG，因为D和G分别为AC1和AC的中点，所以DG//CC1，且DGBE，则BEDG是平行四边形，

DE//BG，又DE面ABC,

BG面ABC,所以DE//平面ABC；学科&网

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

19

20