3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质课一等奖

直线的倾斜角和斜率（第一课时）

本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）教学第二册（上）

》（人教版）第三章教

学

内

容

分

析

第1节课《3.1直线的倾斜角和斜率》的第一课时。

本节教学是高中解析几何内容的开始。直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素和代数表示，是平面直角坐标系内以解析法的方式来研究直线及其几何性质的基础。

通过本节内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的应用知识。本课有着奠定基调，渗透方法的作用。

教学目标说分析

目标：了解直线的方程和方程的直线概念，理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式。

分析：通过斜率概念的构建和斜率公式的探究，经历几何问题代数化的过程，渗透数形结合、分类讨论的思想方法，强化函数的应用意识，训练学生的逆向思维能力。通过师生的双边活动使学生进一步获得分类讨论、抽象概括等研究数学的规律和方法，培养学生周密思考，主动学习、合作交流的意识和勇于探索的良好品质。

1、教学上应用新课标理念，以启发式为主。亚里士多德讲：“思维从问题，惊讶从开始”。通过问题驱动法，采用师生对话的方式，能使学生在讨论探究中激发学习新知识的兴趣和欲教

望，也可加深对得到概念的理解。

法

2、本节课采用学导式，改变了以往研究斜率的方法，让学生从数、形两个不同的角度对特

斜率公式进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到斜率的计算公式，更重要的预点

期是向学生渗透坐标法，体会向量法的优越性，教师可以真正做到“授之以渔”。

3、应用多媒体教具的电教手段弥补在直观感、立体感和动态感方面的不足，增大了教学

内容，增强了学生的思维训练密度。

4、通过合作学习，上台展示，让学生在活动中感受教学思想方法之和谐优美。

重点难点

教学重点：直线的倾斜角和斜率概念，过两点的直线的斜率公式。

教学难点：斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立。

教学程序

教学情境

学情预设

帮助学生

设计意图

情

境

创

设

引

出

课

题

师：在初中不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何。

回忆初中平面由函数的概几何中的相关念引入解析几概念。可指出前何，显得比较面研究问题的自然，学生并方法称为“几何不陌生。同时法”，并提示同为日后体会学们注意它与“坐标法”解今后研究问题决问题的一般所用的“坐标性埋下伏笔。

法”有何异同。

师

生

互

动

探

究

新

知

探究一：直线的方程和方程的直线

第一步：作：请同学们在直角坐标系中任意画一个一次函数的图像，并任取一点标上坐标。

第二步：想：所画一次函数的解析式是否是方程？如果是，是何方程？

第三步：探讨：方程的解和直线上的点有何对应关系？

(1)个别学生有可能画出形如“y=a”或 1.直线方程的概念通过一次函数的解“x=a”的图像，析式与图像的应及时指出它们虽不是一次函数，但仍是直线，可引导同学们考虑其中方程的解和直线对应关系引入比较自然。

2.直线方程的概念学习需要一个过程，上的点的关系。直线的方程和为后面分类讨方程的直线概

师

生

互

动

探

究

新

知

当学生归纳出方程的解和直线上的点存在一一对应关系时，师生共同总结出直线的方程和方程的直线：

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解。这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

探究二：直线的倾斜角

问题逐个给出：

（1）大家观察刚才所画的图像，对于平面直角坐标系内的一条直线L，它的位置由哪些条件确定？

(2)一点能确定一条直线吗？再加一个什么条件就可以确定一条直线？

(3)什么是直线的倾斜角？如何定义？范围是什么？

在学生讨论的同时，师板书（为了加深对概念的理解），画出下图直线的倾斜角。

O (1)

y L1

y L2

x 论作准备。

(2)学生准确说出方程的解和直线上的点的对应关系念的描述中体现出来的逆向思维与本节学习重点直线的倾斜角和斜率有一定的困难，的关系中的逆可积极引导学生应用逆向思维。

对于问题(2)，学生如果回答“再加一个表示倾斜程度的量”就顺势引出倾斜角的概念。如果学生已经看到课本上

从研究直线方程的需要出发，引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率的概念，符合学向思维一致。

倾斜角的概念，生的认知特就直接让学生点。

讨论问题（3）。

关于问题（3），学生可能说出直线向上的方向与y轴正向之间所成 通过环环相扣的三个问题，让学生在讨论后得出倾斜角的概念，O (2x 的角是倾斜角。使学生有成就此时应立即点感，亦可加深学生对得到概念的理解。

) 拨学生，为什么

这样定义不合

师

生

互

动

探

究

新

知

L3

y x y L4 适。

在总结出直线的倾斜角概念后可根据学生理解的实

对于直线和x轴平行或重合O O x (3) (4)

师：确定平面直角坐标系中一条直线位置关系的几何要素是定点和倾斜角。

师生共同幻灯片归纳总结：

(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小角正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。

(2)当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0

。

oo 故倾斜角的范围是0180

o际情况做详释：

的认识理解，直线的倾斜角是一个几何概念，它直观地描述和表现了直线向上的方向和x轴正方向所成的最小正角。 可培养学生周密的思维能力，强化应用分类讨论思想的意识。

探究三：让学生讨论给出直线的斜率的定义

1你能求出下图中直线的倾斜角吗？

同学们经过计算回答60o 有的同学预习了课本，已见到斜率的概念，可以问为什

1.通过师生对话，引出用斜率表示直y 3

3A

1 y=3x1

B 么采用tan， 线倾斜程度的而不是别的三必要性。

2.让学生自己定义斜率的概念，可增O x 角函数。在学生经过思考讨论后，让学生明 师：说说你们的算法！可能出现的方法是：

确：

生1：在Rt∆AOB中，由tanOB得出。

平面内的强成就感，激OA任意一条直线发学习兴趣，

师

生

互

动

探

究

新

知

生2：在Rt∆AOB中，由sinOB得出。

都有且只有一有利于该难点AB个倾斜角，倾斜角的大小确定了，直线的方向也就确定了，倾斜角不同，直线的倾斜程度也不同。那么所用函数尽可能是一一映射且单调性一致才更加合理。分析各种三角函数，采的突破。

3.函数的应用应与实际研究问题的需要相结合。只有这样直线的倾斜角与斜率两个概念才能“和谐”共存，都能表示直线的倾斜程度，体现数学中的“和谐”美。

4.可加深 生3：应用ycot和ycos也可以。

2同学们还能定义别的表示直线倾斜程度的量吗？

3应用哪一个三角函数更能合理地表示直线的倾斜程度？

借住师生、生生间的辨析得出斜率的概念：

定义：（1）倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做直线的斜率。用k表示，即oktan。

（2）倾斜角是90的直线没有斜率。

教师可以接着问：倾斜角为60

和120的直线的斜率为多少？

4师：有了倾斜角的概念，为什么还用斜率来表示直线的倾斜程度？

仅用倾斜角这个几何概念来刻画直线的方向是不符合解析思想的（即用代数思想研究几何问题）由此想到三角函数，因为tanR可设ktan，这样就可以从代数的角度去刻画直线对x轴的倾斜程度。

ooo用ktan，只需补充90o时斜对分类讨论思率不存在即可。

对于定义（2），可通过师生对话明确1.当倾斜角是90o想的应用意识。亦可完善对斜率概念的理解。

5.采用数形结合，将直线的倾斜度和实数之间建立对应关系，使几何问题的研究具有了普遍性，充分体现“坐标法”在时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此直线垂直于x轴2.所有的直线都有倾斜角，但不是所有的

师

生

互

动

探

究

新

知

（可以构造直角三角形由tan

探究四：直线的斜率公式

师：在坐标平面内，已知两点P1直线都有斜率。

数学研究中划

时代的历史意义。

在探究中应向学生指出：

(1)斜率公式与两点的顺序无关，即横纵坐标在公式中

问题（1）让学生复习斜率概念可起到承上启下的作用。

问题（2）引导学生从不同的角度计算斜率，并对学生进行数形结（x1,y1),P2(x2,y2),就能确定一条直线，当倾斜的前后次序可角不等于90°时，这条直线的斜率也是唯一确以用时颠倒；

定的，那么，如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率呢？

第一步：提出两个问题

(1)如何求斜率K？

（当(2)斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度可以通过直线上任意两2时，由ktan[0,)）

点的坐标表示，合、分类讨论、而不需要求出斜角，使用时比较方便；

一般→特殊→一般等数学思想方法的有机 (2)计算tan可以从什么角度计算？用什么方法？

对边入手， (3)当x1=x2渗透。

邻边时，=90°，

斜率不存在。

在坐标系中，学生应用几何法探究斜率公式是必然，应

还可以根据定义，将角平移使始边与x正半轴重合，顶点与坐标原点重合，在终边上取一点yP（x，y）用tana来计算）

x

第二步：分组活动，合作学习

师：下面就从这两个不同角度来计算斜率。

通过合作学习，让学生充当学习的主体，体会用“坐重视这一方法。标法”研究几学生有可能对何问题的一般

师

生

互

动

探

究

新

知

(1)让学生分两大组，一组从构造直角三角形入手计算斜率，另一组通过向量来计算斜率。

(2)每一大组再分几个合作小组，直线的倾斜角取不同的值。

第三步：交流，总结

教师在巡视中关注各组研究情况适时给倾斜角为钝角的情况不太注意，应要求学生取不同的倾斜角进行分析，并给予适时的点拨和帮助。

应用向量法探究斜率公方法和对得到结论的理解。

让学生上台展示可训练分析和表达问题的能力。

过两点的直线的斜率公式的建立是予点拨、指导。条件成熟时，要求学生分析，式的学生，可能除了公式是否还可得到一些有价值的副产品（如对直线的方向向量的感性认识）。

可选一些有代表性的小组上台展示成果，得出斜率公式: 对

p1p2取本节难点，让向上的方向不太注意，将学生在交流中从两方面进行探究解决使该yy1

k2x2x1第四步：归纳向量法推导斜率公式的要点，定义直线的方向向量：直线上的向量p1p2及与它平行的向量都称为直线的方向向量，其坐标是：(x2x1,y2y1)0，当x2x1时，a=（1，k）也是它的方向向量。

p1p2平移至起点与坐标顶点重合时，结合三角函数的定义是思维上的障碍，考虑到学生的个体差异，教师应从向量的定义、三角函数的定义等方面对个别 小组进行适时的点评、指导。

难点的突破显得自然。同时让学生在探究中逐步意识到向量是处理直线方程中许多问题的重要工具。

师：求经过A（-2,0），B（-5,3）两点的直线的斜率和倾斜角。

本题考查 通过典例301，即tan1，

解：k52公式的直接应分析，训练斜典

例

分

析

能

力

提

升

0o180o

135

直线的斜率是1，倾斜角是135o。

o用问题，学生估率公式的正用计能做的很好！与逆用问题，可找二同学板演，其他同学除做本题外，还做书中P37练习培养学生的逆向思维能力。

学生画出图后，可增强“坐标法”与数形结合的意识。

让学生 师：在平面直角坐标系中，画出经过原点，且斜率分别为1, -1，-2，-3的直线L1 ，1,3。

L2 ，L3 ，L4

。

分析：要画经过原点的直线，只需再找一L3

y0个点，若设L1 上A1（x1 ，y1 ）则由11的

本题属斜率公式的逆用问x10学生有可能体会用“特例x1y1，只需取满足x1y1的任意点均可，如题，（1,1）。类似可画出其它直线。

L4

L2

O y 对L1 ，L2

求出法”解题带来倾斜角画直线。

的方便。

·

A3（1,2）

L1

·

A1（1,1）

·

A2（1,-1）

·

A4（-1,-3）

x

师：练习P39 中4。

巩

固

请2位同学板演4。

练

习

师：做书上P39页练习2，并进一步讨论

斜率与倾斜角的取值范围。

延

可酌情给出：

伸

探

究

时讨论k范围。条件成熟时问，反之，给出k的范围，如何求的范围。

(1)3060

(2)30120

oo (3)120145

oooo

画出

对练习的进一步思考，可ytan([0,)且以让学生深)的函数2图像来讨论与k之间的关系，可加深对直线的倾斜角和斜率概念的理解，强化函数的应用意识，为下节内容打下基础。

入的研究直线的倾斜角与斜率的内在联系，完善对直线的倾斜角和斜率认识的系统性和深刻性。将学生的思维引领向更高的层次。