习题4.2全国优秀课堂实录

课题：

3，点到直线的距离

汕头市鮀浦中学

陈叙钦

一、教材分析

《点到直线的距离》是人教A版必修2第三章第三节中的一个重要知识点，是对平面图形进行定量研究的一个重要公式。点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。同时它可被用于研究曲线的性质，如求两条平行线间的距离、三角形的高、圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程、抛物线的方程等，因此它具有承前启后的重要作用。另外，点到直线的距离公式也体现了解析几何中的数学美，在解决数学问题中所展现的逻辑美。

二、学情分析

在本节课之前学生已学习掌握了有关直线计算的相关知识，如两直线交点、两点间距离公式等，同时也学习了三角函数、平面向量、不等式等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力。另外我校学生基础知识扎实、代数运算能力较强，思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。由于学生刚刚学习解析几何，对解析法不够熟练，而且用解析法结合平面几何、三角的知识解决问题的例子不多，综合运用知识的能力不高，所以公式的推导是个难点。

三、教学目标（见教案）

四、教学重点、难点

（1）教学重点

1．点到直线距离公式的推导

2．点到直线距离公式的简单应用。

（2）教学难点

1．公式推导的思路分析；

2．公式推导过程中的代数优化。

五、教学理念和理论依据

高中数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，引导学生会学数学、会用数学。根据数学学科的特点，深入挖掘数学的育人价值，增强数学教学的育人功能。树立以发展学生数学核心素养为导向的课程意识与教学意识，将核心素养贯穿于数学教学的全过程。在教学中，教师应结合相应的教学内容，落实“四基”，培养“四能”，促进学生数学核心素养的形成与发展。

六、教学策略

首先让学生明确“为什么在两直线的位置关系这一节讨论点到直线的距离公式”，激发学生的学习兴趣。在公式的推导中，比较两种推导思路的不同，让他们体会到“思路1难在什么地方？”“思路2妙在哪里？”，使他们熟悉解析法，同时领会到用解析法结合其它数学方法的妙处。这样，学生不仅学到了知识，而且通过公式推导思路的优化，深化了对数形结合思想的理解，提高了学生转化问题的能力。“授人以鱼，不如授人以渔。”我体会到，必须在传授知识给学生的同时，教给他们好的学习方法，就是让他们“会学习”。

七、教学媒体

现代化多媒体信息平台

八、教案

教学目标：

1．知识与技能

（1）理解点到直线的距离公式的推导过程；

（2）掌握点到直线的距离公式；

（3）掌握点到直线的距离公式的应用。

2．过程与方法

（1）参与公式的探索和推导过程，体会算法思想；

（2）通过公式推导的优化，提高类比化归、数形结合的能力；

（3）提高观察、分析和解决问题的能力，增强合作交流能力，发展创新意识和提高创造性思维能力。

3．情感、态度与价值观

（1）进一步认识代数与几何的内在联系，体会数形结合的思想；

（2）通过公式的推导与优化，提高自己锲而不舍的钻研精神，体验数学中的辩证统一性。

时间

2分钟

3分钟

授课

行为

1．开门见山，引入课题

同学们，通过前几节课的学***面直角坐标系下可学生

行为

教学

意图

快

快速回顾之集中注意前所学内容的力，倾听思同时，说明对以用一组有序实数对x,y来表示一个点，用二元一次方程来表考

于直线有关问示一条直线，这样我们可以从代数角度来研究几何了。对于几何，

题我们已经可我们主要研究它的位置关系和数量关系，下面我们以学习过的点

以用代数来刻

和直线为例来梳理一下。

画。为了更好为了更好的对几何进行定量研究，本节课我们重点来探索一下点到

的进行定量研

直线的距离。

究，我们有必

2．给出定义

要进一步探索

师：初中时是如何来定义点到直线的距离的呢？

点到直线的距

离，引出课题。

认真思考

几何代数

观看表格

点

x,y回答问题

基本图形

AxByC0A2B20直线

Ax1,y1,Bx2,y2点与点

Ax1By1C0点在直线上

Ax1By1C0点不在直线上位置关系点与直线

ABAB0且ACAC0平行直线与直线AxByC0

相交(交点)AxByC0

yyk12角度(倾斜角)x1x2

ABxxyy点与点

数量关系

点与直线长度(距离)

直线与直线

12211122111222221212

15分钟

的长度，其中Q是垂足。

3．公式推导

这种思路最直观看微课

接，也最容易已知点P(x0,y0)，直线l:AxByC0A2B20，如何求点P认真思考

想到。引导学公式初步产生在今后解决到直线l的距离？

y思路1：利用两点间距离公式直接计生

较复杂问题Cl:yQB算

理解推导过时，可以先从策略：特殊到一般

程

特殊、简单的C

情况出发来逐Px0,y010当A0时，l:y

步深入，因为BOx

特殊的情况中By0C

dy0y

往往蕴含了一B

些本质且共性C

的东西，可以l:xyAC

帮助我们进一02当B0时，l:x

Q

步解决问题。APx0,y0

这种推导方式Ax0C

dx0x

的优点是直接A

易懂，但对学Ox

生的计算能力223当A0且B0时，l:AxByC0AB0

要求高，在推l:AxByC0y

导过程中易出B

错。

Qx,y此时PQ：yy0xx0

A

Px0,y0

Ox

B2x0ABy0ACA2y0ABx0BC

联立方程，解得x,y2222ABAB

AAx0By0CBAx0By0C

x0x，y0y

2222ABAB

22Ax0

By0CA2Ax0By0CB2Ax0By0

C22dx0xy0y22

2B2AA2B2A2B2

Ax0By0C

利

用几何图形特

综上，由1,2,3得：d22AB

征，通过面积生（全体）：点P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ

15 分钟

相等我们可以

间接推导距离小组讨论

公式，简化运形成三种思算复杂度。引因为这时的直线是“直”的，交点坐标易求。而当直线PQ是“斜”的时，路

导学生在今后

解析几何学习交点坐标难求，所以较复杂。因此我们可以试着将直线PQ化

中要重视几何

“斜”为“直”，进行分解处理。

性质的利用，

思路2：化斜为直（几何图形角度）

同时明白方法

选择的重要3当A0且B0时，l:AxByC0A2B20

性。

l,:AxByC0过P作直线yy0,xx0,分别交直线l于R，S

S

Q三角函数知识，

Ax0CBy0C避免计算y导得R，y0,Sx0，

RAB致错误的可能

Px0,y0性来简化运算，

提高运算正确

O0CAx0By0CAx0By性。这种尽量用PR，PS

较少变量来解AB

决问题的想法

要引起学生的A2B222高度重视。

RSPRPSAx0By0C

AB

过

对目标公式的

Ax0By0C11分析思考，将由面积公式，dRSPRPS，得d

22直线方程进行A2B2

整体换元（平提问：万一以后我们在解题时没有想到更好方法呢？同时运算能力

移变换），整体

也不太好，怎么办？

求解处理，大

大简化运算。在代数中，将

思路3：恒等变形（代数结构角度）

什么看做处理

223当A0且B0时，l:AxByC0AB0

对象（元）是

非常重要的，B

22它将直接导致此时PQ：yy0xx0,dx0xy0y

A不同的处理方

式，产生不同A2B2B2x0ABy0ACx0x

处理1：x，

d

的复杂度，有AA2B2时甚至有天壤

之别，因此在

1Bxx0Ayy00解决问题前先处理2：

确定好变元很2Axx0Byy0Ax0By0C

重要。

在前面两种代AAx0By0C

由（1）（2）可得x0x；22数变形基础上，AB

进一步介绍通

过变形来“秒BAx0By0C

y0y

22杀”问题，从而4．优化运算

问：通过上面的推导，我们思考：为什么当A0或B0时推导容易？

yxAB

1 分钟

8 分钟

1 分钟

说明熟练应用Ax0By0C，22

代数恒等变形处理3：由12得d222AB

很重要，可以代

数巧算。

Ax0By0C

d

22AB

5．公式剖析

熟记公式

Ax0By0C点Px0,y0到直线l:AxByC0的距离d

整理笔记知

22AB

识点

注：（1）此公式的作用是求点到直线的距离；

（2）用此公式时直线要先化成一般式。

6．公式应用

将

例：已知点A1,3,B3,1,C1,0求（1）点C到直线AB的距

教材中的例5和例思考回答

6合并成一个离；（2）ABC的面积。

完成例题

例题的两小解:设AB边上的高为h,则AB边所在直线的方程为

问，同时运用y-3x1

“化斜为直” 即xy40

思想求三角形1-331y

面积进行了补A

充，这为今后|104|55

h2

大学里利用行222211B

列式求多边形C

面积奠定了基Ox又|AB|(31)2(13)222

础。

15y因此SABC225

22A

思考：还有其他解法吗？

利用化斜为直思想，将ABC补成B

矩形，则

CO1x

SABC434123225

2

7．归纳小结

（1）知识内容：点到直线距离公式

观看投影

（2）思想方法：特殊到一般；化归；数形结合

自我小结

8、作业布置

1．基础巩固：评测练习

2．实践探究：课后查阅资料，进一步探索其他推导方式，体会不同方法中蕴含的思想。

2

附1：板书设计：

§3.3.3点到直线的距离

1.

定义

2.

策略

推导过程

优化运算

例题

3.

公式剖析

【教学反思】

本节选自《普通高中课程标准实验教科书/数学比修２》人教A版第三章。这节课的任务是：给出已知点的坐标与已知直线的方程，求点到直线的距离，建立点到直线的距离公式。教材分四步进行，第一步：回忆学生学过的两点间的距离公式及推导；第二步：研究点到简单的直线（即平行x轴或平行y轴的直线）的距离；第三步：通过两点间距离公式的推导进一步研究点到即不平行x轴也不平行y轴的直线；第四步：记忆公式并进行简单的应用。通过课堂教学使学生由浅入深的去学习，体现了由具体到一般，相互联系、相互转化的数学思想。