2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学实录与评析

§8.2

空间点、直线、平面之间的位置关系

1.平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系

平行共面直线相交(1)位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角). π0，. ②范围：23.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a. (

√

) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线. (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A. (

×

) (

×

)

(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.

(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面.

(

×

)

(

√

) (

) 2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b A.一定是异面直线

C.不可能是平行直线

答案

C

B.一定是相交直线

D.不可能是相交直线

解析

由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾. 3.下列命题正确的个数为

①经过三点确定一个平面

②梯形可以确定一个平面

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合

A.0

B.1

C.2

D.3

(

) 答案

C 解析

经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；

两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；

两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；

命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确. 4.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，

C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过

A.点A

B.点B

C.点C但不过点M

D.点C和点M

答案

D 解析

∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据公理3可知，M在γ与β的交线上. 同理可知，点C也在γ与β的交线上. 15.已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：①MN≥(AC＋BD)；2111②MN>(AC＋BD)；③MN＝(AC＋BD)；④MN<(AC＋BD). 222其中正确的是________.

(

)

答案

④

解析

如图，取BC的中点O，

连接MO、NO，

11则OM＝AC，ON＝BD，

221在△MON中，MN

2∴④正确.

题型一

平面基本性质的应用

例1

如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1 的中点.求证：

(1)E、C、D1、F四点共面；

(2)CE、D1F、DA三线共点. 思维启迪

(1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面；

(2)可以先证CE与D1F交于一点，然后再证该点在直线DA上. 证明

(1)连接EF，CD1，A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点，

∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E、C、D1、F四点共面. (2)∵EF∥CD1，EF

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点. 思维升华

公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据.

(1)以下四个命题中

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；

③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是

A.0

B.1

(

) C.2

D.3 (2)a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定________个平面. 答案

(1)B

(2)9 解析

(1)①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形. (2)∵a、b是异面直线，

∴a上任一点与直线b确定一平面，共5个，b上任一点与直线a确定一平面，共4个，一共9个. 题型二

判断空间两直线的位置关系

例2

如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1 的中点.问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；

(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由. 思维启迪

第(1)问，连接MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；

第(2)问可采用反证法. 解

(1)不是异面直线.理由如下：

连接MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，

∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形，

∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，

∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下：

∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，

∴B、C、C1、D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，

∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾.

∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线. 思维升华

(1)证明直线异面通常用反证法；

(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；

(3)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.

(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1 的中点，则下列判断错误的是

A.MN与CC1垂直

C.MN与BD平行

(

) B.MN与AC垂直

D.MN与A1B1平行

(2)在图中，G、N、M、H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

答案

(1)D

(2)②④

解析

(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，

∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，

∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD. 又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D. (2)图①中，直线GH∥MN；

图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，

因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，

因此GH与MN异面. 所以图②、④中GH与MN异面.

题型三

求两条异面直线所成的角

例3

空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、

F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 思维启迪

取AC中点，利用三角形中位线的性质作出所求角. 解

取AC的中点G，连接EG、FG，

11则EG綊AB，GF綊CD，

22由AB＝CD知EG＝FG，

∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成的角为30°，

∴∠EGF＝30°或150°. 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，

当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；

当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°. 故EF与AB所成的角为15°或75°. 思维升华

(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. (2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.

直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于

A.30°

答案

C 解析

如图，可补成一个正方体，

∴AC1∥BD1. ∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1为正三角形，

∴∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1成60°的角.

B.45°

(

) C.60°

D.90°

求解两条直线所成角问题概念不准确致误

典例：(5分)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作 A.1条

B.2条

(

) C.3条

D.4条

易错分析

忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系. 解析

如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD、AA1所成的

角都相等，所成角的正切值都为2.联想正方体的其他体对角线，如连

接BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，

∵BB1∥AA1，BC∥AD，

∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条. 答案

D 温馨提醒

求空间直线所成的角时，常犯以下错误：

(1)不能挖掘题中的平行关系，找不到其所成的角；

(2)线多、图形复杂、空间想象力不够，感觉无从下手.

方法与技巧

1.主要题型的解题方法

(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.

失误与防范

1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.

2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件. 3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].

A组

专项基础训练

(时间：40分钟) 一、选择题

1.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(

) A.充分非必要条件

C.充分必要条件

答案

A 解析

“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”.“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”.故选A. 2.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c

A.一定平行

B.一定相交

C.一定是异面直线

D.平行、相交、是异面直线都有可能

答案

D 解析

当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交. 3.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是

A.(0，2)

答案

A 解析

此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于2.选A. 4.四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为

25A. 5答案

B B.5

5

3D.

5

(

)

(

)

(

)

B.必要非充分条件

D.既非充分又非必要条件

B.(0，3) C.(1，2) D.(1，3) 4C.

5

解析

因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB. PA2＋AB2－PB2在△PAB内，PB＝PA＝5，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝＝2×PA×AB5＋4－55＝，故选B. 2×5×255.设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是

(

) ①P∈a，P∈α⇒a⊂α

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

A.①②

答案

D 解析

当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；

如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，

∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，

∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确. 二、填空题

6.平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_______个平面. 答案

1或4 解析

若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面. 7.a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；

④若a，b与c成等角，则a∥b. 上述命题中正确的命题是________(只填序号). 答案

①

解析

由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不

B.②③

C.①④

D.③④

正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确. 8.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对. 答案

24 解析

正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线为面对

角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，

BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异

12×4面直线对共有＝24(对). 2三、解答题

9.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB

＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H. (1)求AH∶HD；

(2)求证：EH、FG、BD三线共点. AECF(1)解

∵＝＝2，∴EF∥AC，

EBFB∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，

平面EFGH∩平面ACD＝GH，

∴EF∥GH，∴AC∥GH. AHCG∴＝＝3. HDGD∴AH∶HD＝3∶1. EF1GH1(2)证明

∵EF∥GH，且＝，＝，

AC3AC4∴EF≠GH，∴EFGH为梯形. 令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，

又P∈FG，FG⊂平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴P∈BD. ∴EH、FG、BD三线共点. 10.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥

底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点. (1)求四棱锥O－ABCD的体积；

(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小. 解

(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，

18所以，四棱锥O－ABCD的体积V＝×4×2＝. 33(2)连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，

则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角)，

由已知，可得DE＝2，EM＝3，MD＝5，

∵(2)2＋(3)2＝(5)2，

∴△DEM为直角三角形，

DE26∴tan∠EMD＝＝＝. EM33B组

专项能力提升

(时间：30分钟) 1.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

答案

B 解析

当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确. 2.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分

别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是________. 答案

②③④

解析

还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN. 3.(2012·四川)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、

CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________. 答案

90°

解析

如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，

(

)

所以MK∥DN. 所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角. 连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，

则A1K＝422＋32＝41，

11MK＝DN＝42＋22＝5，

22A1M＝42＋42＋22＝6，

∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°. 4.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1、H、O三点共线.

证明

连接BD，B1D1，

则BD∩AC＝O，

∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又

H∈B1D，

B1D⊂平面BB1D1D，

则H∈平面BB1D1D，

∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1. 即D1、H、O三点共线. 5.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，

若DA＝1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值. 解

取AC的中点F，连接EF，BF，

在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，

∴EF∥CD. ∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角. 11在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，

22∴BE＝5. 2111在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，

222∴EF＝2. 2

15在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝. 2212EF2410在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝. BE5102∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为10. 10