复习参考题教案推荐

《空间点线面位置关系》复习课时设计

A.知识点回顾

1、“∈”和“”的区别

2、公理们及推论：

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（线在面内）

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.（点在线上）

公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.（平面确定）

推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行传递）

3、直线的位置关系：

共面 平行（没有公共点）

(1)直线与直线 相交（有且只有一个公共点）

异面(既不平行，又不相交) 线在平面内（有无数个公共点）

(2)直线和平面 直线不在平面内 平行（没有公共点）

(直线在平面外) 相交（有且只有一公共点）

(3)平面与平面 相交——有一条公共直线(无数个公共点) 平行——无公共点

4、线线平行：中位线定理、平行四边形、比例线段等。（后面学到的性质：线面平行、面面平行、线面垂直）

5、线面平行：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.

判定：

①

线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行. 即若aα,bα，a∥b,则a∥α.（线线平行推出线面平行）

②两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β. 性质：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，

即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.（线面平行推出线线平行）

6、面面平行：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直. 判定：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.

①

面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.（线面平行推出面面平行）

②

推论：一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行

即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β. 性质：

两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行

即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b （面面平行推出线线平行）

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B.考点分析

一、平面

1．下列命题中正确命题的个数是(

) ①三角形是平面图形；②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

[答案]

B

[解析]

①④正确，故选B. 2．三条直线两两相交，可以确定平面的个数为(

) A．1

B．1或2

C．1或3

D．3 [答案]

C

[解析]

三条直线共点时，可以确定三个或一个平面，三条直线不共点时，确定一个平面，∴选C.

3．直线a及不在直线a上的不共线三点，最多可以确定平面的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 [答案]

D

[解析]

三个点A，B，C分别与直线a确定一个平面共3个，三点A，B，C确定一个平面ABC，这时最多为4个．

4．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线的条数是(

) A．一条

B．两条[来源学+科+网]

C．三条

D．一条或三条

[答案]

D 5、下列四个命题：①三点确定一个平面[来源学科网ZXXK]②一条直线和一个点确定一个平面

③若四点不共面，则每三点一定不共线

④三条平行线确定三个平面

其中正确结论的个数有(

)

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

[答案]

A [解析]

因为不共线三点确定一个平面、一条直线与线外一点确定一个平面，故①②均不对；在平面α内任作．．．．．三条平行线，可知④错；空间四点中，若有三点共线，则这条直线与第四点必共面，即这四点一定共面，∴③正确，故选A.

二、位置关系

1．（公理一）若直线上有两个点在平面外，则(

) A．直线上至少有一个点在平面内

B．直线上有无穷多个点在平面内

C．直线上所有点都在平面外

D．直线上至多有一个点在平面内

[答案]

D

[解析]

∵直线上有两个点在平面外，∴直线在平面外，

∴直线与平面相交，或直线与平面无公共点．故选D. 2．下面四个命题中，正确的有(

) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．

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②空间中四点A、B、C、D，惟一确定一个平面，则必定有三点不共线．

③若四边形有两个对角是直角，则这个四边形是圆内接四边形．

④四边相等的四边形是菱形．

A．1个

B．2

C．3个

D．4个

[答案]

A

[解析]

①三点共线时，两平面可能相交；②若四点惟一确定一个平面，则至少有三个点不共线；③④都把平面几何的结论搬到立体几何中来，都不对，故只有②对．

3、设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是(

) ①P∈a，P∈α⇒a⊂α

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α[来源:学_科_网]

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

[来源:Z*xx*k.Com]A．①②

B．②③

C．①④

D．③④

[答案]

D

[解析]

当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；

a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，[来源学科网]

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D. 4．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图，则在原正方体中(

)

A．AB∥CD

B．AB∥EF

C．CD∥GH

D．AB∥GH

[答案]

C

[解析]

折回原正方体如图，则C与E重合，D与B重合，显见CD∥HG.

三、位置关系证明

（点共线）1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别在棱AB、BB1、CC1上，且PD、QR相交于点O.求证：O、B、C三点共线．

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[解析]

∵QR∩PD＝O，∴O∈QR且O∈PD

∴O∈面BCC1B1且O∈面ABCD，又面ABCD∩面BCC1B1＝BC

∴O∈BC

∴O、B、C三点共线．

[来源:Zxxk.

（点共面，线共面）2、已知M、N、P、Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中棱AB、BC、C1D1、C1C的中点．求证M、N、P、Q四点共面．

[证明]

如图所示，连结MN并延长交DC延长线于O，则△MBN≌△OCN，所以CO＝MB.连接PQ并延长交DC延长线于O1，则△PC1Q≌△O1CQ，所以CO1＝PC1.又因为MB＝PC1，所以CO＝CO1，所以O与O1重合，所以PQ、MN相交于点O，所以M、N、P、Q四点共面．

*3、在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如右图．

(1)求证：D、B、E、F四点共面．

(2)设直线AC1与平面BDEF的交点为M，证明P、Q、M三点共线．

[解析]

由于E、F为中点，∴EF∥B1D1，

又BD∥B1D1，∴EF∥BD，∴E、F、B、D四点共面

(2)在平面ACC1A1中，AC1与PQ必相交于一点R，

∵Q∈EF，P∈BD，∴P、Q∈平面BDEF，

∴PQ⊂平面BDEF，

∵R∈PQ，∴R∈平面BDEF，

故R就是直线AC1与平面BDEF的交点M，

四、异面直线

1、分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(

) A．异面

B．相交[来源:Zxxk.Com]

C．平行

D．异面或相交

[答案]

D

如图，a、b为异面直线，c、d分别与a、b都相交．图(1)中c、d异面，图(2)中c、d相交．

空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(

) A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

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[答案]

A[解析]

取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中

∠EFH＝90°，

HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A.X§K] [来源学§科§网Z§X§

、2、过空间一点P作与直线l成45°角的直线共有(

)A．1条

B．2条

C．4条

D．无数条

[答案]

D[解析]

如图，∠APO＝45°，l∥PO，以PO为轴旋转PA，则PA总与PO成45°角，从而l与PA成45°角，这样的直线PA，即圆锥的母线所在直线有无数条．

3．正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是(

) A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

[答案]

C

∵A1D∥B1C，∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角，连结A1B.∵△A1DB为正三角形，

∴∠A1DB＝60°. 4．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别为P、Q、R，且AC＝4，BD＝25，PR＝3，则AC和BD所成的角为(

)

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

[答案]

A

[解析]

如图，P、Q、R分别为AB、BC、CD中点，∴PQ∥AC，QR∥BD，

11∴∠PQR为AC和BD所成角又PQ＝AC＝2，QR＝BD＝5，RP＝3 22[来源学科网ZXXK]∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°即AC和BD所成的角为90°，故选A.

五、线面平行

1．已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系(

) A．b∥α

B．b与α相交

C．b⊂α

D．b∥α或b与α相交

[答案]

D

∵a，b相交，∴a，b确定一个平面为β，如果β∥α，则b∥α，如果β不平行α，则b与α相交．

2．下列命题中正确的是(

) ①过一点一定存在和两条异面直线都平行的平面

②直线l、平面α与同一条直线m平行，则l∥α

③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行

A．①

B．③

C．①③

D．①②③

[答案]

B

[解析]

举反例，即特例法①当点在一条直线上时，不存在；②l⊂α，m∥l时，②错；

③两直线a、b无公共点，有两种情况：i)a∥b

ii)a、b异面，都存在平面α经过直线b，且α∥a

故选B.

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3．给出下列结论

(1)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行．

(2)过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行．

(3)a、b是异面直线，则过b存在惟一一个平面与a平行．

其中正确的有(

)

A．1个

[答案]

A

[解析]

(1)错

(2)错

B．2个

C．3个

D．4个

(3)正确

在b上取一点B，过这点平行于a的直线只有一条a′，b与a′确定唯一平面α，且a∥α. 4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是(

)

A．EF∥平面BB1D1D

B．EF与平面BB1D1D相交

C．EF⊂平面BB1D1D

D．EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断

[答案]

A [证明]

取D1B1的中点O，连OF，OB，[来源学科网]

11∵OF綊B1C1，BE綊B1C1，∴OF綊BE，

22∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF∥BO

∵EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，

∴EF∥平面BB1D1D，故选A. 5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是______．

[答案]

相交

[解析]

因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交．

六、面面平行

1．已知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个平面(

) A．平行

B．相交

C．平行或相交

D．平行或在平面内

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[答案]

B 2．α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是(

) A．α、β都平行于直线l、m

B．α内有三个不共线的点到β内的某三个点的距离相等

C．l、m是α内的两条直线且l∥β，m∥β

D．l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

[答案]

D 3．下列命题中，正确命题的个数是(

) ①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b异面

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交

④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面

A．1个

[答案]

B [解析]

由α∥β，a⊂α，b⊂β知，a、b位置关系为平行或异面，③④正确故选B. 4．下面命题中正确的是(

) ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行

②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行

③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行

④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行

A．①③

[答案]

D 5．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中(

) A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一一条与a平行的直线

[答案]

A

[解析]

当直线a⊂β，B∈a上时满足条件，此时过B不存在与a平行的直线，故选A.

B．②④验区

C．②③④

D．③④

B．2个

C．3个

D．4个

七、平行性质

1．已知直线a、b、c及平面α，下列哪个条件能确定a∥b(

) A．a∥α，b∥α

B．a⊥c，b⊥c

C．a、b与c成等角

D．a∥c，b∥c

[答案]

D 2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是(

) A．AC∥截面BA1C1

B．AC与截面BA1C1相交

C．AC在截面BA1C1内

D．以上答案都错误

[答案]

A[解析]

∵AC∥A1C1，又∵AC⊄面BA1C1，∴AC∥面BA1C1. 第

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3．下列说法正确的是(

) A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α

B．若直线a在平面α外，则a∥α

C．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α

D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线

[答案]

D 4．已知平面α∥平面β，P∉α，P∉β，过点P的两直线分别交α、β于A、B和C、D四点，A、C∈α，B、D∈β，且PA＝6，AB＝2，BD＝12，则AC之长为(

) A．10或18

[答案]

C [解析]

由PA＝6，AB＝2知，P点不可能在α与β之间，∴点P在两平行平面所夹空间外面，

∴PAACPBBD＝或＝，∴AC＝9或AC＝18，∴选C. PBBDPAAC

B．9

C．18或9

D．6 5．若α∥β，a∥α，则a与β的关系为(

) A．a∥β

[答案]

C 6．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中(

) A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在惟一一条与a平行的直线

[答案]

D

B．a⊂β

C．a∥β或a⊂β

D．a∩β＝A

八、平行证明

线面平行判定小试、

1、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是SA,BD上的点，且SDC

提示：连接AN，延长与DC交于E，利用比例证明MN平行于SE

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AMBN=，

求证：MN//平面SMNDSMDANBC

2、如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；

(2)若MN＝BC＝4，PA＝43，求异面直线PA与MN所成的角的大小．

1[解析]

(1)取PD的中点H，连结AH，NH，∵N是PC的中点，∴NH綊DC.由M是AB的中点，

2∴NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形．

∴MN∥AH. 由MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD. (2)连结AC并取其中点O，连结OM、ON，

11∴OM綊BC，ON綊PA.22[来源学*科*网]

∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，

由MN＝BC＝4，PA＝43，得OM＝2，ON＝23. ∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，

即异面直线PA与MN成30°的角．

面面平行小试、

1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是CC1、AA1的中点，求证：平面BDE∥平面B1D1F. [解析]

设G是BB1的中点，连结FG、CG. ∵FG綊AB，AB綊DC，

∴FG綊DC. ∴四边形FGCD是平行四边形．则DF綊CG. 由题设可得EB1綊CG，则DF綊EB1.所以四边形DFB1E是平行四边形．

∴B1F∥ED，因为B1F⊄平面BDE，ED⊂平面BDE，所以B1F∥平面BDE. 又∵B1D1∥BD，B1D1⊄平面BDE，BD⊂平面BDE.∴B1D1∥平面BDE. ∵B1D1∩B1F＝B1，∴平面BDE∥平面B1D1F. 2、

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思考、△ABC所在平面外有一点P，A′、B′、C′分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心．

(1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC.

(2)求S△A′B′C′S△ABC的值．

[解析]

(1)连PA′并延长交AB于A″，

连PB′并延长交BC于B″，

连PC′并延长交AC于C″，

PA′PB′连A″B″，B″C″.∵A′、B′分别为△PAB、△PBC的重心，∴＝，

PA″PB″∴A′B′∥A″B″，同理B″C″∥B′C′，∴平面A′B′C′∥平面A″B″C″，即平面A′B′C′∥平面ABC. A′B′PB′2211(2)由(1)可知＝＝，∴A′B′＝A″B″，又A″B″＝AC，∴A′B′＝AC，

323A″B″PB″3S△A′B′C′111同理B′C′＝AB，A′C′＝BC，∴＝. 339S△ABC

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