3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优秀说课稿

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

3．1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示

预习课本P92～94，思考并完成以下问题

1．空间向量基本定理的内容是什么？

2．在空间向量中，基底的定义是什么？应满足什么条件？

[新知初探]

高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

1．空间向量基本定理：

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

2．空间向量的正交分解及其坐标表示

(1)单位正交基底：

三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．

(2)空间直角坐标系：

以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz. (3)空间向量的坐标表示：

―→对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底(

) ―→(2)向量AP的坐标与点P的坐标一致(

) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

2．已知A(2,3－μ，－1＋ν)关于x轴的对称点是A′(λ，7，－6)，则λ，μ，ν的值为(

) A．λ＝－2，μ＝－4，ν＝－5

C．λ＝－2，μ＝10，ν＝8 答案：D 3．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(

) A．a

C．a＋2b

答案：D 4．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．

答案：(3,2，－1)

(－2,4,2) 高考资源网版权所有，侵权必究！

B．λ＝2，μ＝－4，ν＝－5 D．λ＝2，μ＝10，ν＝7 B．b

D．a＋2c

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

空间向量基本定理的理解

―→―→[典例]

已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋―→―→―→―→2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底？

―→―→―→―→―→[解]

假设OA，OB，OC共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使OA＝xOB―→＋yOC成立．

∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，

－3x＋y＝1，∴e1，e2，e3不共面，∴x＋y＝2，2x－y＝－1

此方程组无解，

―→―→―→即不存在实数x，y，使OA＝xOB＋yOC成立．

―→―→―→∴OA，OB，OC不共面．

―→―→―→故{OA，OB，OC}能作为空间的一个基底．

判断基底的方法

判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．

[活学活用]

设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：

①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．

其中可以作为空间的基底的向量组有________个．

―→―→―→―→―→解析：如图所设a＝AB，b＝AA1，c＝AD，则x＝AB1，y＝AD1，―→―→z＝AC，a＋b＋c＝AC1.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．

答案：3 高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

空间向量基本定理的应用

[典例]

如图，四棱锥P-OABC

的底面为一矩形，PO⊥平面―→―→―→OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，―→―→―→―→试用a，b，c表示：BF，BE，AE，EF. 1―→1―→1―→―→1[解]

连接BO，则BF＝BP＝(BO＋OP)＝(c－b－a)＝－222211a－b＋c. 221―1―1―→―→―→→→―→BE＝BC＋CE＝－a＋CP＝－a＋(CO＋OP)＝－a－b＋2221c. 2111―→―→―→―→―→1―→―→AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c. 2222―→1―→1―→1EF＝CB＝OA＝a. 222

用基底表示向量的策略

(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．

(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．

[活学活用]

―→―→如图所示，正方体OABC-O′A′B′C′，且OA＝a，OC＝b，

―→OO′＝c. ―→―→(1)用a，b，c表示向量OB′，AC′；

(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，―→b，c表示GH. ―→―→―→―→―→―→解：(1)OB′＝OB＋BB′＝OA＋OC＋OO′＝a＋b＋c. ―→―→―→―→―→―→―→―→―→AC′＝AC＋CC′＝AB＋AO＋AA′＝OC＋OO′－OA＝b＋c－a. (2)法一：连接OG，OH(图略)，

―→―→―→―→―→则GH＝GO＋OH＝－OG＋OH

1―→―→1―→―→＝－(OB′＋OC)＋(OB′＋OO′) 22高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

11＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c) 221＝(c－b)．

21――→1→―→法二：连接O′C，则GH＝CO′―→＝(OO′－OC) 221＝(c－b). 2

空间向量的坐标表示

[典例]

如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标―→系，

求向量MN的坐标．

[解]

∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，

―→―→―→∴AB，AD，AP是两两垂直的单位向量．

―→―→―→设AB＝e1，AD＝e2，AP＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A-xyz. 法一：如图所示，

―→―→―→―→∵MN＝MA＋AP＋PN

1―→―→1―→＝－AB＋AP＋PC

221―→―→1―→―→＝－AB＋AP＋(PA＋AC) 221―→―→1―→―→―→＝－AB＋AP＋(PA＋AB＋AD) 221―1→1―→1＝AD＋AP＝e2＋e3，

222211―→0，，. ∴MN＝22法二：如图所示，

连接AC，BD交于点O. 则O为AC，BD的中点，

连接MO，ON，

―→1―→1―→∴MO＝BC＝AD，

22―→1―→ON＝AP，

2―→―→―→∴MN＝MO＋ON

高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

1―→1―→＝AD＋AP

2211＝e2＋e3. 2211―→0，，. ∴MN＝22

用坐标表示空间向量的方法步骤

[活学活用]

π在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D2―→―→为A1B1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO，A1B的坐标．

―→1→――→―→―→―→→

解：(1)∵DO＝－OD＝－(OO1＋O1D)＝－OO1＋2―OA＋OB

()―→1―→1―→＝－OO1－OA－OB

2211＝－4e3－×4e1－×2e2

22＝－2e1－e2－4e3，

―→∴DO＝(－2，－1，－4)．

―→―→―→―→―→―→(2)∵A1B＝OB－OA1＝OB－(OA＋AA1) ―→―→―→＝－OA＋OB－AA1＝－4e1＋2e2－4e3，

―→∴A1B＝(－4,2，－4)．

层级一

学业水平达标

1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

高考资源网版权所有，侵权必究！

解析：选B

当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q⇒p. 2．在空间直角坐标系O-xyz中，下列说法正确的是(

) ―→A．向量AB的坐标与点B的坐标相同

―→B．向量AB的坐标与点A的坐标相同

―→―→C．向量AB与向量OB的坐标相同

―→―→―→D．向量AB与向量OB－OA的坐标相同

解析：选D

因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理B、C都不正确；由―→―→―→于AB＝OB－OA，所以D正确．

3．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(

) A．(12,14,10) C．(14,12,10) B．(10,12,14) D．(4,3,2) 解析：选A

依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．

4．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点―→G是MN的中点，则OG等于(

) 1―→1―→1―→A.OA＋OB＋OC

6331―→―→―→C.(OA＋OB＋OC) 3―→1―→―→解析：选B

如图，OG＝(OM＋ON) 21―→11―→―→＝OM＋×(OB＋OC) 2221―→1―→1―→＝OA＋OB＋OC

4441―→―→―→＝(OA＋OB＋OC)．

4―→―→―→―→―→5．空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，―→N为BC中点，则MN为(

) 121A.a－b＋c

232112C.a＋b－c

223211B．－a＋b＋c

322221D.a＋b－c

3321―→―→―→B．(OA＋OB＋OC) 41―→1―→1―→D.OB＋OA＋OC

633高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

―→―→―→―→解析：选B

MN＝MA＋AB＋BN

1―→―→―→1―→―→＝OA＋OB－OA＋(OC－OB) 322―→1―→1―→＝－OA＋OB＋OC

322211＝－a＋b＋c. 3226．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．

解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，

所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．

答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7) 7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________. 解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，

1＝λx，于是有－1＝λy，1＝2λ，答案：2

－2 ―→8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF―→＋λA1D＝0(λ∈R)，则λ＝________. 解析：如图，连接A1C1，C1D，

则E在A1C1上，F在C1D上，

11―→1―→―→1―→易知EF綊A1D，∴EF＝A1D，即EF－A1D＝0，∴λ＝－. 22221答案：－

29．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中―→―→―→点，以{AB，AD，AA1}为正交基底，求下列向量的坐标：

―→―→―→―→―→―→(1)AE，AF，AG；(2)EF，EG，DG.

1―→―→―→―→1―→0，1，，

解：(1)AE＝AD＋DE＝AD＋AA1＝22―→―→―→―→AF＝AA1＋A1D1＋D1F

高考资源网版权所有，侵权必究！

x＝2，解得

y＝－2.

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

―→―→1―→1，1，1，

＝AA1＋AD＋AB＝221―→―→―→―→1―→1，，0. AG＝AB＋BG＝AB＋AD＝221―→―→―→1，1，1－0，1，

(2)由(1)得EF＝AF－AE＝2211―→―→―→，0，，EG＝AG－AE

＝2211111，，0－0，1，＝1，－，－，

＝222211―→―→―→1，，0－(0,1,0)＝1，－，0. DG＝AG－AD＝22―→―→―→10．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．

―→―→(1)用向量a，b，c表示D1B，EF；

―→(2)若D1F＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．

―→―→―→―→―→―→解：(1)如图，D1B＝D1D＋DB＝－AA1＋AB－AD＝a－b－c，

1――→―→―→1―→1―→→―→1―→―→1EF＝EA＋AF＝D1A＋AC＝－(AA1＋AD)＋(AB＋AD)＝22222(a－c)．

―→1―→―→(2)D1F＝(D1D＋D1B) 21―→―→＝(－AA1＋D1B) 21＝(－c＋a－b－c) 211＝a－b－c，

2211∴x＝，y＝－，z＝－1. 22层级二

应试能力达标

―→―→―→1．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间的一个基底的关系是(

) ―→1―→1―→1―→A．OM＝OA＋OB＋OC

333―→―→―→B．MA＝MB＋MC

―→―→―→―→C．OM＝OA＋OB＋OC

高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

―→―→―→D．MA＝2MB－MC

―→―→―→―→解析：选C

对于选项A，由OM＝x

OA＋y

OB＋z

OC

(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，―→―→―→―→―→―→C四点共面，知MA，MB，MC共面；对于选项B，D，易知MA，MB，MC共面，故选C. 2．给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；

②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；

―→―→―→③A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；

④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．

其中正确命题的个数是(

) A．1

C．3

B．2

D．4 解析：选D

根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个―→―→―→―→―→―→基底．显然②正确．③中由BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，知BA，BM，BN―→―→―→共面．又BA，BM，BN过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，λμ使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，bkk不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D. ―→―→―→―→3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝2j，AA1＝5k，则向量AC1在基底{i，j，k}下的坐标是(

) A．(1,1,1)

C．(3,2,5) 111B．3，2，5

D．(3,2，－5) ―→―→―→―→―→―→―→―→解析：选C

AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝3i＋2j＋5k，∴向量AC1在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)，故选C. ―→―→―→2―→4．已知向量OA和OB在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若OC＝AB，5―→则向量OC在基底{a，b，c}下的坐标是(

) 648－，－，－

A.555

648，－，－

B．555高考资源网版权所有，侵权必究！

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

648－，－，

C.555648D.5，5，5

―→―→―→―→2解析：选A

∵AB＝OB－OA＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，∴OC＝5648648―→―→－，－，－，故选A. AB＝－a－b－c，∴向量OC在基底{a，b，c}下的坐标是5555555．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．

yz解析：若x≠0，则a＝－xb－xc，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. 答案：x＝y＝z＝0 6．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝α

a＋β

b＋γ

c时，α＋β＋γ＝________. 解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3. α＋γ＝1，所以α＋β＝2，γ＋β＝3，答案：3 7.如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，―→―→―→且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设AB＝a，AC＝b，AA1＝c. ―→(1)试用a，b，c表示向量MN；

(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．

111―→―→―→―→1―→―→1―→1解：(1)MN＝MA1＋A1B1＋B1N＝BA1＋AB＋B1C1＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b3333331＋c. 31(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋212×1×1×＝5，

25―→1∴|a＋b＋c|＝5，∴|MN|＝|a＋b＋c|＝，

33即MN＝5. 3

8．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E是上底面高考资源网版权所有，侵权必究！

故有α＋β＋γ＝3.

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值．

―→―→―→―→(1)

BD′＝xAD＋yAB＋zAA′；

―→―→―→―→(2)AE＝xAD＋yAB＋zAA′. ―→―→―→解：(1)∵BD′＝BD＋DD′＝

―→―→―→―→―→―→BA＋BC＋DD′＝－AB＋AD＋AA′，

―→―→―→―→又BD′＝xAD＋yAB＋zAA′，

∴x＝1，y＝－1，z＝1. ―→―→―→―→1―→(2)∵AE＝AA′＋A′E＝AA′＋A′C′

21――→1―→―→―→1―→→＝AA′＋(A′B′＋A′D′)＝AA′＋A′B′＋A′D′

2221―→1―→―→―→―→―→―→＝AD＋AB＋AA′，又AE＝xAD＋yAB＋zAA′，

2211∴x＝，y＝，z＝1. 22

高考资源网版权所有，侵权必究！