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立体几何中的向量方法

-------利用向量求空间角

汕头市潮阳林百欣中学———刘泽华

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教材分析：

按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，尤其是向量用坐标表示后，可使空间结构系统的代数化，把空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算，有助于学生克服空间想象力的障碍而顺利解题。

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考纲要求：

1、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．

2、了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．

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命题趋势：

在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所称的角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多。

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学情分析：

学生在此之前已经复习了：空间中三种角的概念及传统方法解立体几何题，平面向量的数量积、夹角公式，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积公式，以及如何找出共点的三条两两垂直的直线，从而合理的建立空间直角坐标系。具有利用向量知识来处理空间中两种特殊位置关系：平行和垂直的相关理论与实践基础。

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教学目标：

知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线所成的角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；

过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；

情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力。

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教学重难点：

重点：用向量求空间角——线线角、线面角、面面角；

难点：将立体几何问题转化为向量问题。

1

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教学过程：

一、教材温故

1、常考查的空间角有

异面直线所成的角、线面角、面面角

. 2、异面直线所成的角

设a,b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则：

b

项目

范围

a与b的夹角β

(0，π)

l1与l2所成的角θ

l2

l1

3、直线与平面所成的角

0，

2cosθ＝|cos β|＝

a求法

abcos β＝

|a||b|abab

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角

an为θ，则θ 0，

且sinθ＝

cosa,n＝2an．

anl

4、求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小

θ＝AB,CD

；且θ 0，．

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ是向n1与n2的夹角(或其补角)．满足|cosθ|＝cosn1,n2

二、典例分析

(2017·全国卷改编) 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且

P

A

B

C

1垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．

2问题(1)

求异面直线PA与CD所成的角的余弦值；

解：取AD中点O，连接PO,OC，

PAD为正三角形，POAD

D

面PAD面ABCD，且交线为AD,PO面ABCD,OC面ABCD,POOCABBC12A,DBADAB9C0

,2

为正方形，OC

四边形ABCOA

D

分别以OC,OD,OP为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系如图：

设AD2,则P(0,0,3),A(0,1,0),C(1,0,0),D(0,1,0)

PA(0,1,3),CD(1,1,0)

cosPA,CDPACDPACD(0,1,3)(1,1,0)2

442异面直线PA和CD所成的角的余弦值为2.

4规律方法：用向量法求异面直线所成角余弦值的一般步骤: (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)分别确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量a,b； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦值的绝对值. 即代入公式cosa,babab进行计算

问题(2) 求直线CD与平面PBC所成的角的正弦值；

解：由（1）得B(1,1,0),PC(1,0,3),BC(0,1,0)

PCmx3z0

设面PBC的一个法向量为m(x,y,z)，则，

BCmy0

令z1,则x3,y0,m(3,0,1)

cosCD,mCDmCDm(1,1,0)(3,0,1)36

42422

直线CD和平面PBC所成的角的正弦值为规律方法：利用向量法求线面角的正弦值的步骤：

（1）建立合适空间直角坐标系；

（2）求出平面的法向量，斜线的方向向量；

6.

4（3）代入公式求解，即线面夹角正弦值等于法向量与方向向量夹角余弦值的绝对值。

问题(3)

求平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值；

3

解：由（

1）可知OC(1,0,0)可作为平面PAD的一个法向量，

cosOC,mOCmOCm(1,0,0)(3,0,1)3

214

依题意可得面PBC与面PAD所成的二面角为锐二面角，所以所求角的余弦值为规律方法：（一）用向量法求二面角余弦值的一般步骤: (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)分别求出两个半平面的法向量

； (3)两半平面所成角的余弦值的绝对值等于两向量夹角余弦值的绝对值. (4)结合实际图形判断所求角的大小，从而得出所求二面角余弦值的符号. （二）求法向量的方法主要有: (1)求平面垂线的方向向量；

(2)利用法向量与平面内两不共线向量的数量积为零列方程组求解。

变式探究：（该题中）线段PC上是否存在点M，使得直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为在，求出此时的二面角M-AB-D的余弦值．

3.

26，若存4解：假设存在符合要求的点M(x,y,z)，设PMPC(01)，即(x,y,z3)(1,0,3)，x,y0,z33,即M(,0,33)，BM(1,1,33)，

OP(0,0,3)可作为面ABCD的一个法向量

6BMOPcosBM,OP4BMOP33(1)1(33)322，

113化简整理得(21)(23)0，，此时M(,0,)，

22213AB(1,0,0),BM(,1,)

22x0，

设面MAB的一个法向量为n(x,y,z)，则13z0xy224

，cosOP,n令z2,则y3,n（0，-3，2）OPnOPn2327

737二面角MABD为锐二面角，其余弦值为27，

727。

7因此，存在点M为PC中点符合要求，此时二面角MABD余弦值为规律方法：用向量法求解存在性问题的基本思路是假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据假设和已知条件进行计算求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.

三、巩固练习

1．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

C

) A.315103

B.

C.

D.

255312．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成2的角为_30__．

3．(选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(

C

) A．45°

B．135°

C．45°或135°

D．90°

4．(2018·郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为__45______．

四、课堂小结

☆

三个范围：1.异面直线所成角的范围是0，；

2

2.直线与平面所成角的范围是0，；

2

3.平面与平面所成角的范围是0，。

☆

三种关系：1.求两异面直线a,b夹角，须求出它们的方向向量a,b的夹角，则coscosa,b；

2.求直线l与平面所成的角，可先求平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sincosa,n；

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3.求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1,n2所成的角，则=n1,n2

或=-n1,n2

☆

一个易错点：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两个半平面，的法向量n1,n2时，要根

据向量坐标在图形内观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等的（一个平面的法向量指向二面角内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部），还是互补（两个法向量同时指向二面角的内部或外部），这是利用向量求二面角的难点，易错点。

答题模板：

利用向量求空间角的一般步骤

：

第一步：建立合适的空间直角坐标系； 第二步：确定点的坐标； 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第四步：计算向量的夹角(或函数值)； 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角； 第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.

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