习题2.3教学设计(第一课时)

2.3双曲线习题课

重难点：主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．双曲线与直线的关系是难点。解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质

一：知识点回顾

1．双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2y2－＝1 a2b2(a>0，b>0) y2x2－＝1 a2b2(a>0，b>0) 图形

范围

对称性

顶点

渐近线

性质

离心率

x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

A1(－a,0)，A2(a,0)

by＝±x aA1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x

bce＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

a线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双实虚轴

曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a，b，c的关系

c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 3.

直线与双曲线的位置关系

研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定

二．师生互动，完成例题

题型一：双曲线方程求解

典例

根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)

虚轴长为12离心率为

5

4(2)

焦距为26，且经过点M(0,12)；

(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7). 题型二：根据定义，求解焦点三角形问题

典例

已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝

1.

本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？

→→2.本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1·PF2＝0”，则△F1PF2的面积是多少？

题型三：双曲线的性质

典例

(1)已知F1，F2是双曲线x2y2C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是

A.2x±y＝0

B.x±2y＝0 D.2x±y＝0 C.x±2y＝0

(2)(2016·山东)已知双曲线E：x2y2－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的a2b2四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是______.

题型四：双曲线与直线的关系

典例

1.已知直线y＝kx－1和双曲线x2－y2＝1的右支交于不同两点，则k的取值范围是________

X22.经过双曲线

4

－y2＝1的右焦点的直线与双曲线交于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线的条数为

A.4

B.3

C.2

D.1 三．学生自己总结本节课重要题型，方法。