3.1.3 导数的几何意义教学评价实录

§3.1.3 导数的几何意义

【使用课时】：1课时

【学习目标】：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.

【学习重点】：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】：

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

1.曲线的切线及切线的斜率

（1）如图3.1-2,当Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,即x0时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为

.

（2）割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时, xnx0kn无限趋近于切线PT的斜率k,即k=

=

2.导数的几何意义

函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即f(x0)=

.

二、新课导学

学习探究

探究任务：导数的几何意义

1.曲线的切线及切线的斜率

图3.1-2

（1）如图3.1-2,当P,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,n(xn,f(xn))(n1割线PPn的变化趋势是什么？

（2）如何定义曲线在点P处的切线？

(3)割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

(4)切线PT的斜率k为多少？

说明: (1)当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义

（1）函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义是什么？

（2）将上述意义用数学式表达出来。

（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？

3.导函数

（1）由函数yf(x)在xx0处求导数的过程可以看到,当xx0时,f(x0)是一个确定的数,那么,当x变化时,

f(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数. 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. （2）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系是什么？

区别：

联系：

典型例题

例1

如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象.根据图象,请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况.

例2

如图,它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)

当堂检测

1. 求双曲线y

11在点(,2)处的切线的斜率,并写出切线方程. x2

2. 求yx2在点x1处的导数.

※

知识拓展

导数的物理意义：

如果把函数yf(x)看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x表示时间），那么y导数f(x0)表示运动物体在时刻xo的速度，，即在xo的瞬时速度.即vx0f(x0)lim

t0xv而运动物体的速度v(t)对时间t的导数，即v(t)lim称为物体运动时的瞬时加速度.

t0t学习小结

函数yf(x)在x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处切线的斜率.

即k=f(x0)limx0f(xx)f(x0)，其切线方程为

x三、课后练习与提高

1. 已知曲线y2x2上一点,则点A(2,8)处的切线斜率为（

）

A. 4

B. 16

C. 8

D. 2 2. 曲线y2x21在点P(1,3)处的切线方程为（

）

A．y4x1

B．y4x7

C．y4x1

D．y4x7

f(x0h)f(x0)3. f(x)在xx0可导，则lim（

）

h0hA．与x0、h都有关

B．仅与x0有关而与h无关

C．仅与h有关而与x0无关

D．与x0、h都无关

4. 若函数f(x)在x0处的导数存在，则它所对应的曲线在点(x0,f(x0))的切线方程为

5. 已知函数yf(x)在xx0处的导数为11，则

f(x0x)f(x0)=

limx0x