小结教案和学案内容

空间向量与立体几何小结

重点：利用向量方法证明空间平行和垂直关系以及求解空间角。

难点：空间存在性问题以及线面角，二面角的综合问题。

教学目标：

知识与能力：会用几何法或向量方法证明平行和垂直关系；会求法向量，正确运用公式求空间角；能用方程思想解决一些探究性问题。

过程与方法：归纳形成知识与方法网络，通过典型例题，学生先思考、练习，然后教师作引导，学生再练习，整理。

情感态度与价值观：体会向量方法解决立体几何问题的优越性，培养学生勤于钻研的好习惯。

教学方法：问题引导，讲练结合，多媒体教学。

教学过程

一、基础知识梳理及方法小结

（一）、空间向量的运算

1、向量的加法，减法，数乘及数量积运算以及坐标运算，如何求两个向量的数量积运算？利用数量积运算得到长度和角度的计算公式是什么？

2、若不方便建立空间直角坐标系，注意选择合适的基底进行向量运算，若方便建立空间直角坐标系，建立坐标系往往需要证明，可用坐标表示向量，将向量运算转化为实数的运算。

（二）、空间向量共线与共面

1、利用向量共线和共面可解决几何中的哪些问题？（点共线，线平行，点共面等）。

= ,可用

表示点P的坐标，2、点P在直线AB上，可设 解决一些探索性问题。

3、点P与不共线的三点A,M,N共面的充要条件为：

=x

。

存在实数x,y使得 +y

（三）、空间平行和垂直关系的证明

1、几何方法：利用线面平行和垂直的判定定理。

2、

向量方法：利用直线的方向向量和平面的法向量证明。

利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：

方法一：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直，方法一较常用．

方法二：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．

方法三：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证

•

证明面面平行的方法（1）判定定理（2）法向量互相平行垂直关系有线线垂直、线面垂直和面面垂直等．利用向量垂直直接证明线线垂直，线面垂直和面面垂直一般都可转化为线线垂直来证明。

•

证明线面垂直的方法：

•

(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；

•

(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直

•

证明面面垂直的方法．

•

(1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直问题；

•

(2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．

四、利用空间向量求角

,1、异面直线a,b所成的角 ，

，设方向向量分别为

,

。

则 =

2、斜线与平面所成的角，设直线l与平面α的夹角为θ，直线

l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则有sinθ＝|cosβ|。

3、二面角的大小为

，两平面的法向量分别为

,

,其夹角为

，则

与

相等或互补，若

为锐角，则cos

=

,若

为钝角，则cos

=-

还可以用与棱垂直且分别在两个半平面内的向量的夹角求二面角。

4、几何法求角，需要根据角的定义找出或作出角，然后计算

二．典型例题精析

例1 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥

平面ABCD. (1)求证：BD⊥AA1；

(2)求平面AA1D1D与平面AA1C1C

的夹角的余弦值；

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

解题后小结：

证明线面平行或垂直，先用几何法试试（如本例第一问），建立坐标系时，先要证明必要的垂直关系，探索性问题即在一定条件下论证会不会出现某个结论，一般先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．我们借助向量将“形”转化为“数”，把点、线、面的位置数量化，将存在性问题转化为方程是否有符合条件的解的问题，通过代数式的运算就可得出相应的结论．这样可以把许多几何问题公式化，使问题的解决变得有“法”可依，有路可寻．

三、巩固练习：如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠

ABC,E是PD的中点。

（1）证明：直线CE∥平面PAB;

（2）点M在棱PG上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为

45°，求二面角M-AB-D的余弦值。

四、课堂小结

1.本节课我们归纳了证明空间平行和垂直关系的方法，高考第一问一般考查平行和垂直关系的证明。

2.空间角的求法是高考第二问考查的重点，若题目条件中有角，再求其它的角，应先找到或作出已知角，或根据条件求出有关未知量，再进行求解。挖掘题目的垂直关系，建立合适的坐标系，准确写出点的坐标，向量的坐标，求出法向量，弄清向量的夹角和所求的几何角的关系，最后回答几何问题。

3.对于存在性问题，应用合适的参数表示动点的坐标，转化为方程是否有符合条件的解的问题

五、作业：教材2-1 P113A组12，B组2,3，P119B组1 六、教学反思：本节课由于回顾知识点与方法归纳用时较长，所选例题综合性强，例题是在学生先思考、练习的基础上作引导和讲解，因此所选的巩固练习没有时间做，但是学生还是有较充分的时间进行思考和练习。