3.1.1 空间向量及其加减运算教学内容概述

3.1.1空间向量及其线性运算

教学目标：

1、经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念；

2、掌握空间向量的加法、减法；

3、用空间向量的运算意义和运算律解决简单的立体几何问题。

教学重点：空间向量的概念、用空间向量的运算意义和运算律解决简单的立体几何问题。

教学过程：

一.问题情境

由于实际问题的需要,在必修4中,我们学***面向量,研究了平面向量的概念、运算及其性质,进而解决了平面上有关点,线的位置关系及度量问题.

但向量未必都在同一平面内,如下问题:

如图一块均匀的正三角形钢板质量为500kg，在它的顶点处分别受F1、F2、F3三个力，每个力与同它相邻的三角形的两边的夹角都是60度，且︱F1︱= ︱F2︱

=︱F3︱=200kg。

这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？

此问题中,三个向量不在同一平面内,问题不好直接用平面向量来解决,为此需要将向量由平面向空间推广! 二.数学概念形成

1.平面向量与空间向量的有关概念

(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量. 平面上的向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.

长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；

长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；

1

方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量记作－a．

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；

记作：a∥b，0∥a．

由向量的实际背景,平面向量的有关概念都可以移植到空间中

(2)空间向量的有关概念：

在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量.

空间向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.

在空间中，

长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；

长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；

方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量记作－a．

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；

记作：a∥b，0∥a．

2.平面向量与空间向量的线性运算

我们现在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而与它们的起点无关. 所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内

因此,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.

这样,空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样. →→

已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，AB＝b.由O，A，B三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.

2 a b B α

O A

空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）

→→→

OB＝OA＋AB＝a＋b（三角形法则）

→→→

OC＝OA＋OB＝a＋b（平行四边形法则）

→→→

BA＝OA－OB＝a－b

→

OP＝λa(λ∈R)

平面向量的线性运算满足下列运算律

运算律：

⑴加法交换律：a＋b＝b＋a

b a O a＋b a b A B B a＋b b

O a A C B a－b b O a A O

a λa P

⑵加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

⑶数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R) 那么,空间向量的运算是否仍满足上述规律? (1),(3)中只涉及两个向量,显然满足,但(2)中涉及三个向量,在空间中是否成立? 这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题?

结合律的验证：

A b B a a＋b

C b＋c

c 3 O a＋b＋c

三个向量中有共线向量时规律显然成立.

平面向量共线的充要条件在空间也是成立的

3．共线向量定理：

共线向量定理：空间任意两个向量a,b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.

三.知识运用

例1.

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，

化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

→→(1)CB＋BA1; →→1→(2)AC＋CB＋AA1; 2→→→(3)AA1－AC－CB

→→→解：(1)CB＋BA1＝CA1

(2)因为M是BB1的中点, →1→→→1→所以BM＝BB1，AC＋CB＋AA1

22→→→→1→→→→又AA1＝BB1，所以AC＋CB＋AA1＝AB＋BM＝AM. 2→→→→→→(3)AA1－AC－CB＝CA1－CB＝BA1. 四.探究

→→→AB＋AD＋

AA’三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？

小结：

三个共起点的向量之和，等于以这三个向量

为棱的平行六面体中，以该公共起点为起点的对角

线所表示的向量。

→→→→思考1：用AB，AD，

AA’表示向量BD’

思考2：

（1）空间中任意一个向量是不是都能用这三个向量来表示？

（2）是不是空间中任意三个向量都能去表示别的向量？

（3）空间中满足什么样条件的三个向量才能去表示别的向量？

4 A1

C1

B1

M A C B D’

A’

C’

B’

D C A B

【当堂巩固】

已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：

→→→(1)AB＋BC＋CD；

→1→→(2)AB＋(BD＋BC)；

2→1→→(3)AB－(AB＋AC)．

2

五.回顾总结

一、平面向量与空间向量中向量的定义、基本性质以及运算律完全相同；

二、空间任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

六.布置作业

习题3.1

A组

1、2 B组

1（选做）

七．教后反思

“空间向量与立体几何”一章是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，本节是概念教学，概念的展开采用了从平面向量过渡到空间向量的过程，突出了类比思想。进而在了解空间向量概念的基础上，运用空间向量表示直线的方向和平面位置关系的问题，体会向量在研究几何图形中的作用。

主要学习的是空间向量基本概念及其加法、减法的运算及应用。根据新课标，要求学生应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来。在教学设计上，注重与学生已有知识的联系，因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预***面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。另外，多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但是我觉得自己在这方面做的不太理想，意图是好的，可是没有完全调动起学生的兴趣和学习积极性，背离了新课程理念，这是我以后应该注意的问题。在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决例题。

5 ABMCGD

不足之处：在创设情境时，我用的是物理中的力引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性。另外，拓展中平行六面体问题设置上没有进一步展开，可是前边耽误了时间，导致重点地方没有足够的时间解决，没达到最初的意图。还有，在课堂上，如果时间充分，让学生自己发现、分析，总结问题的求解方法，更有助于他们掌握解决此类问题方法。

板书的处理上我没有过多的思考，围绕本节课的中心留下的内容，但是在处理练习的过程中一学生上台板书的过程中把这些东西擦掉了，整个板书变成了空白，而我在这没有进行补救，给学生留下的是一片空白。

逻辑思维才是数学课堂的主色调，而学生真实的活动也应该是在这种思维中度过，这是课堂问题衔接和抛砖引玉的魅力，也是我要进一步思考的方向。

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