探究与发现 为什么y=±b／a x是双曲线x2／a2 －y2／b2 =1的渐近线教学设计方案

bx2y2

为什么yx是双曲线2-21的渐近线

aab课型：新知教学课

1.整体设计思路、指导依据说明

bx2y2“为什么yx是双曲线2-21的渐近线”是高中数学选修1-1第二章第二小节双曲线后的探究aab与发现，渐近线对圆锥曲线来说，这是双曲线特有的性质，本节课解释了为什么ybx是双曲线ax2y2-1的渐近线，完善学生对双曲线渐近线的正确认识。本节课以分析渐近线的定义开篇，又用玲珑a2b22x2y2-1上的第一象限内点M到渐近线yx距离d(MQ)的变化，这样从图形画板演示了双曲线394bx2y2角度解释渐近线的定义。再从代数角度和图形角度分别解释了“为什么yx是双曲线2-21的aab渐近线”，然后对渐近线进行“已知双曲线方程求渐近线方程和由渐近线方程求双曲线方程”的两个应用方面的分析，最后对本节课进行了梳理反思。

2.教学背景分析

地位：渐近线是双曲线的一个重要的几何性质，是圆锥曲线中双曲线特有的性质，本节虽属于选修内容，但是高考中的热点。

作用：由于在学习双曲线性质时，双曲线的渐近线方程是直接给出的，但给学生的感觉很突然，因此本节bx2y2通过探究解释了“为什么yx是双曲线2-21的渐近线”，让学生对双曲线的渐近线概念更自然aab易懂。

学情分析

本节课授课学生是高二学生，学习方式上基本熟悉高中课堂的节奏，甚至有部分同学能建立自主学习的意识，对数形结合等思想方法有了一定认识，并能应用此方法解题，分析问题和解决问题的能力相对于高一时有明显提升，故在此时可进行知识难度大些的圆锥曲线的学习。

3.

教学目标分析

渐近线是在已经学习完椭圆及椭圆性质后的学习，学生可采用类比的思想对其分析，但因为是双曲线特有性质，故从图形入手交容易。图形对任何学段的学生都具有吸引力，利用图形解决知识可以降低理解知识的难度，故本节课时刻贯穿数形结合，达到提高学生兴趣，简化问题理解的目的。为了提升学生的数学素养，故我从以下三个方面确定了本节课的教学目标：

知识与技能目标：

1、理解双曲线的渐近线的定义，能够利用双曲线方程求其渐近线方程

。

2、掌握由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用。

过程与方法目标：

培养学生的观察,归纳总结能力

渗透数形结合的思想方法，感悟数学用图形分析解决问题的魅力。

情感态度与价值观目标：

bx2y2通过推导“为什么yx是双曲线2-21的渐近线”激发学生学习兴趣，充分体会信息技术aab对数学学习的促进作用。

4.教学重点、难点分析

bx2y2重点：

1.推导“为什么yx是双曲线2-21的渐近线”；

aab

2.由双曲线方程求渐近线方程和利用渐近方程求直线方程. bx2y2难点:“为什么yx是双曲线2-21的渐近线”的推导. aab5教学方法

启发、探究

四、教学过程

教

学

过

程

教

为

学

服

务

设计意图

预

习

认

标

观

察

学

习

1、理解双曲线的渐近线的定义，能够利用双曲线方程求其渐近线方程

。 2、掌握由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用。

1.

复习焦点在x轴上的渐近线

幻灯片展示：焦点在x上的渐近线方程是 y2.

渐近线定义的理解，体会“渐近”的含义

（1）幻灯片展示：

渐近线理解：渐近线是双曲线所特有的性质。“渐近”两字的含义，当双让学生明确本节课的学习目标，达到使课堂高效地目的。

本节课是建立在已bx 。

a经学习渐近线基础上，是对渐近线概念的完善，所以先复习渐近线方程，使学生代入渐近线曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的。

的情境中。

也可以这样理解：

当双曲线上的动点N沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点N到这条直

观

察

学

习

线的距离逐渐变小而无限趋近于0。

（2）玲珑画板动态演示

从图形角度理解渐近线的定义，生动直观，这种表现结果优于文字解释。

从双曲线上的点到渐近线的距离d的变化，让学生形成强烈的视觉刺激，从而看出距离随着双曲线的此支向向外延伸时，动点与渐近线无限接近。

bx2y2

3.

推导中心问题：“为什么yx是双曲线2-21的渐近线”

aab

研究双曲线第一象限内的部分

x2y2y2x2b2(x2a2)2已知221，则221，所以y，即

abbaa2b2yxa2(xa)

a

从代数角度推得观

察

学

习

“为什么y是

bxax2y2双曲线2-21ab的渐近线”，借助图形观察点的位置，

为得出MN距离bx上的点，且与M的式子做铺垫。

a

b有相同的横坐标，坐标为(x,Y),则Yx。由图可以看出MQMN。

a

b2b2a2ba2b2因为yxax(12)x12xY所以

aaxaxa

bb(xx2a2)(xx2a2)22Yy后，随着x增MNYy(xxa)22aaxxaM为双曲线上的点，坐标为(x,y)，N为渐近线yabxxa22大，无法看出MN

是变大还是变小，因此将式子进行分

在上式中，x逐渐增大时，MN逐渐减小，x无限增大，MN无限接近0，MQ也无限接近于0. 在其他象限内，类比此方法可以得到双曲线上的点与渐近线无限接近。

子有理化，利用转化的思想将x从分子位置转化到分母位置，此时随着x增大,MN在逐渐减小，从而MQ最后接近于0.解释了中心问题“为什么byx是

ax2y2双曲线2-21ab的渐近线”。

不仅从代数角度解

释了中心问题，动态图像的演示加深了学生的印象，达到数与形的统一，体现数形结合的思想。

观

察

学

习

4.

渐近线的应用

猜想：能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？

观

察

学

习

解释了本节的中心令双曲线方程的常数项为零即可求出方程，

问题，将渐近线应用到实际解题中，x2y2达到学以致用的目双曲线方程221(a0,b0)，把1改为0，得

ab的。

22xyxyxyxyxy()(-)000，

渐近线的求法教科0

或22ababababab书没有细致给出，b为了便于学生应用所以yx

渐近线，此时给出a渐近线方程的求x2y2x2y2法。

重要结论：双曲线22(0)渐近线方程220。

abab

若渐近线方程为

mx ±ny = 0，则双曲线方程

22xy2222

为

___mxnyk(k0)_或

__2-2k(k0)__。

ab

探究（一）：由双曲线求渐近线方程

例1.

求下列双曲线的渐近线方程：

x2y2x2y2

1

(2)--1

(1)9494应用重要结论，深化对结论的理解。

22令2xy0得出渐近线方程为yx

394探究（二）：由渐近线方程求双曲线

例2.

已知双曲线的渐近线是x±2y=0 ，并且双曲线过点M(4,3),求双曲线方程。

解：将渐近线方程变为x2y0，设双曲线方程为x24y2，代入2。

M(4,3)得1，双曲线方程为x2y14

转

化

练

习

1.求下列双曲线的渐近线方程

(1)4x29y236

(2)25x24y2100

2x3y0

5x2y0

设置与例题类似题目，学生容易解题，增强学生信心.

2.已知双曲线的渐近线是x±2y=0 ，并且双曲线过点4，5,求双曲线方程。



x2y1

42测

评

调

控

221、双曲线3x－y＝3的渐近线方程是(

c

)．

对转化练习的巩固

1A．y＝±3x

B．y＝±x

33C．y＝±3x

D．y＝±x 3x2y22、.双曲线a2－9＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(c

) A．4

C．2

B．3 D．1

通过反思，对学习内容有一个整体的认识，回归本节课的学习目标，与预习认标遥相呼应。总结本堂课所学，既让学生养成及时反思的习惯，还能将本节课的内容进行升华。

梳

理

反

思

知识要点

焦点在x上的渐近线方程是 y技法要点

bx ax2y2x2y2双曲线22(0)渐近线方程220

abab

五、教学评价与反思

本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实. 教学评价：本节课的评价内容详见导学案，评价的方法是当堂自测与老师抽查，小组自查。

教学问题诊断：本节课是建立在学生对双曲线有所了解，已经学习了双曲线的性质，有了类比、归纳思想的基础，数形结合思想会简单应用，但是学生将已学知识综合起来解决新问题的能力不是很强。

教法特点：在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“渐近线”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念．采用了玲珑画板的软件使学生更加清晰深刻的认识双曲线上的点与渐近线的距离变化，增强了教学中的直观性．

预期效果分析：学生利用已学知识焦点在x轴上的双曲线方程的渐近线方程很快填充，从而为引出问bx2y2题“为什么yx是双曲线2-21的渐近线”奠定基础，但是学生不能自主推出其中原因，所以aab需要师生共同探究得到这个中心问题的答案，由于有了玲珑画板和Geogebra软件的动态演示和，使学生直观的看到图象，简单明了，且学生印象深刻，加上教师的引导，学生很容易树立数形结合的思想。但是画图识图能力有待增强。