3.1.3 空间向量的数量积运算教案设计范例

§3.1.3．空间向量的数量积（1）

学习目标

1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．

学习过程

一、课前准备

（预习教材P90~ P92，找出疑惑之处）

复习1：什么是平面向量a与b的数量积？

复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求ABBC.

二、新课导学

※

学习探究

探究任务一：空间向量的数量积定义和性质

问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？

新知：

b，则AOB叫做向1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a,b，在空间

一点O，作OAa,OB量a与b的夹角，记作

.

试试：

⑴

范围:

a,b

a,b=0时,a与b

;a,b=π时,a与b

⑵

a,bb,a成立吗？

⑶a,b

，则称a与b互相垂直，记作

.

2) 向量的数量积：

已知向量a,b，则

叫做a,b的数量积，记作ab，即ab

.

规定:零向量与任意向量的数量积等于零.

反思：

⑴

两个向量的数量积是数量还是向量？

⑵

0a

（选0还是0）

⑶

你能说出ab的几何意义吗？

3)

空间向量数量积的性质：

（1）设单位向量e，则ae|a|cosa,e．

（2）abab

．

（3）aa

＝

.

4) 空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律

反思：

⑴

（ab)ca(bc)吗？举例说明.

⑵

若abac，则bc吗？举例说明.

⑶

若ab0，则a0或b0吗？为什么？

※

典型例题

例1

用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

ml,n. 变式1：用向量方法证明：已知：直线l与平面的交点为B，且lm,n是平面内的两条相交直线，求证：l．

例2

如图，在空间四边形ABCD中，AB2，BC3，BD23，CD3，ABD30，ABC60，求AB与CD的夹角的余弦值

D

A

C

B

变式：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1,则AB1与C1B所成的角为（

）

A.

60°

B.

90°

C.

105°

D.

75°

例3

如图，在平行四边形ABCD-A1B1C1D1中，

AB4,AD3,AA'5,BAD90,

BAA'=DAA'=60°,求AC'的长.

※

动手试试

练1. 已知向量

练2.

已知a22,b2,ab2, 则a与b的夹角大小为_____.

2a,b满足a1，b2，ab3，则ab____.

三、总结提升

※

学习小结

1..向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.

※

知识拓展

向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.

学习评价

※

自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1.

下列命题中：

①若ab0，则a，b中至少一个为0

②若a0且abac，则bc

③(ab)ca(bc)

④(3a2b)(3a2b)9a4b

正确有个数为（

）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

2.

已知e1和e2是两个单位向量，夹角为22，则下面向量中与2e2e1垂直的是（

）

3A. e1e2

B. e1e2

C. e1

D. e2

3.已知ABC中，A,B,C所对的边为a,b,c，且a3,b1,C30,则BCCA=

4. 已知a4，b2，且a和b不共线，当

ab与ab的夹角是锐角时，的取值范围是

. 5. 已知向量a,b满足a4，b2，ab3，则ab____

课后作业：

1. 已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.

D

A

C

B

2. 已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB, 线段AC,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.