小结优秀说课稿

空间向量与立体几何课时小结（第二课时）

空间向量法求空间角

一、高考考纲要求：

能用向量法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．

二、命题趋势：

在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标

知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；

过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；

情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点

重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；

难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程

（一）. 知识梳理

1. 两个空间向量夹角的坐标运算

： 已知：ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，则cosa,b2. 回顾空间几何中的三种角的范围：

设为异面直线所成的角；设为直线与平面所成的角；设为二面角的平面角；

则三种角的范围分别为：_________；____________；_____________；



空间向量法求空间角

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

范围

求法

l1与l2所成的角θ

a与b的夹角β

2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，

a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝

3．求二面角的大小

→→(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．

(2)

如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

|a·n|.

|a||n|（二）基础自测：

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(

) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(

) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(

) ππ(4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]．(

) 22(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(

) 2.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(

) A．(－1,1,1)

C．(－

333，－，－)

333B．(1，－1,1) D．(333，，－) 333（三）利用向量求空间角的步骤：

第一步：建立恰当的空间直角坐标系；

第二步：确定点的坐标；

第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；

第四步：计算向量的夹角(或函数值)；

第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；

第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．

（四）创新应用

例1：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

（1）若M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角；

（2）直线B1M与平面DBN所成的角的余弦值；

（3）二面角B1-D1A-C的余弦值.

例2.如图，已知：在直角梯形OABC中，OA//BC，AOC90，SO面OABC，且OSOCBC1,OA2.求：

（1）异面直线SA和OB所成的角的余弦值；

（2）OS与面SAB所成角的正弦值；

（3）二面角BASO的余弦值.

S

A O C B 变式练习：已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA=AB=2,PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．求：

（1）直线EF与面PAD所成角的余弦值；

（2）平面ABP与平面DCP所成二面角的大小。

‘

（五）当堂检测：

1.在正方体ABCDA1B与平面ABC1D1BC11D1中，直线A1所成的角为

. 2.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，BCCACC1，点D、F分别是A1B1、AC11的中点，则BD与AF所成角的余弦值为

.

1题图

2题图

课堂小结：

知识：

方法：

作业布置：

请用所学的知识，选择适当的方法求解下题：

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，

且BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，AD=3，EF=2 （1）若AB=1，求直线AC与平面AEF所成角的余弦值；

（2）AB的值为多少时，二面角A-EF-C的大小为60°.