3.1.2 空间向量的数乘运算教学设计和教学实录

课题：《3.1.2 空间向量的数乘运算》

授课教师

汕头市第一中学数学组

杨小丽

教材：普通高中课程标准实验教科书人民教育出版社A版选修2-1

第三章第3.1.2节（P86-89）

一、教学目标：

1．知识与技能：

①

理解空间向量的数乘运算的定义和运算律；

②

理解直线的方向向量，掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式；

③

理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论，会证明空间三点共线与四点共面问题. 2．过程与方法：利用多媒体平台，激发学生学习兴趣，通过情景再现、问题探究、实践体验等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3．情感、态度与价值观：在向量由平面向空间推广的过程中，让学生体验数学在结构上的和谐性，培养学生善于类比迁移的学习能力，不断探求新知识的创新品质。

二、教学重难点：

1．重点：向量的数乘运算、共线向量定理和共面向量定理. 2．难点：空间直线、空间平面的向量参数方程及其应用，会利用共线向量定理和共面向量定理及它们的推论证明空间三点共线与四点共面问题. 三、教学方法与教学手段：

1．教学方法：采用启发式的教学模式，激发学生求和欲，鼓励学生灵活选择方法从不同角度尝试解决立体几何问题，运用类比的方法让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，使学生主动参与教学过程。

2．教学手段：借助多媒体平台，运用幻灯片、几何画板辅助教学，增加课堂容量，提高课堂效率，同时营造生动活泼的课堂教学氛围，使抽象的知识直观化、形象化，促进学生的理解。

四、授课课时：一个课时。

五、教具：多媒体课件。

六、教学过程：

（一）回顾复***面向量中，

1. 平面向量的概念及其表示方法；

1

2. 平面向量的加减法与数乘运算运算和运算律：

3. 平面向量的运算律：

4. 平面向量的加法的推广：

5. 平面向量的基本定理：

如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有唯一有序实数对λ1、λ2，使a＝λ1 e1＋λ2 e2. 说明：(1) 我们把不共线向量

e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不唯一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式唯一；

(5) 一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a＝λ1 e1＋λ2 e2的形式，我们称它为向量的分解。当e1、e2互相垂直时，就称为向量a的正交分解．

在空间向量中，

1. 空间向量的概念及其表示方法；

2. 空间向量的加法与减法运算和运算律：

加法: 三角形法则或平行四边形法则

减法: 三角形法则

运算法则：加法交换律：abba

加法结合律：(ab)ca(bc)

3. 平行六面体：平行四边形ABCD按非零向量a平移到A′B′C′D′ 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，记作ABCD - A′B′C′D′，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．

（二）新课讲解：

一

、空间向量的数乘运算及运算律：

1.

定义：

实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，并规定：

①

λa的长度

| λa| = | λ | · |a|；

②

当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ＝0时，λa=0．

2. 实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则



①

λ ( μa) = ( λ

μ ) a；

② ( λ + μ ) a= λa

+ μa；

③

λ (a+b) = λa+ λb. 2

例1.

P课本97

习题3.1

A 组

第1题

例2. P课本89

练习

第2题

完成练习1：下列说法正确的是

( C ) A. 平面内的任意两个向量都共线；

B. 空间的任意三个向量都不共面；

C. 空间的任意两个向量都共面；

D. 空间的任意三个向量都共面. 二、共线向量：

1. 共线向量的定义：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则

这些向量叫做共线向量( 或平行向量

),

记作: a//b. 规定：零向量与任意向量共线. 2. 共线向量定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 3. 共线向量定理的推论：

如果直线

l 为经过已知点A且平行已知非零向量a的直线，那么，对空间任意一点O，点P在直线

l

上的充要条件是存在唯一实数t，使OPOAta，①

其中向量a叫做直线l的方向向量. 在直线l上取ABa，则OPOAtAB，②

①、②

称为空间直线l的向量表示式.

注意：空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定. 4. 空间直线的向量表示式：

5. 线段中点的向量公式：若P为

A、B 中点，则OP1OAOB. 2完成练习2：对于空间任意一点

O，下列命题正确的是

( A ) A. 若OPOAtAB，则

P、A、B 共线；

B. 若3OPOAAB，则

P 是

AB 的中点；

C. 若OPOAtAB，则

P、A、B 不共线；

D. 若OPOAAB，则

P、A、B 共线.

练习3：若对空间任意一点O，OPxOAyAB，则x + y =1是P、A、B三点共线的( D ) A. 充分不必要条件；

B. 必要不充分条件；

C. 充要条件；

D. 既不充分也不必要条件. 练习4：已知A、B、P 三点共线，O 为空间任意一点，且OPOAAB，则

3

的值是___1__.

三、共面向量：

1. 共面向量的定义：平行于同一平面的向量，叫做共面向量. 2. 空间向量的基本定理及其推论：

定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组（x,y,z），使pxaybzc．

我们把的{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，存在唯一的有序实数组（x,y,z），

使OPxOAyOBzOC．

例3. P课本94

例4 3. 共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是

存在唯一的有序实数对

( x，y )，使pxayb. 4. 共面向量定理的推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在唯一的有序实数对

( x，y )，使APxAByAC；或对空间任意一点O，有OPOAxAByAC.

思考: P课本

88

思考?

第2问

例4. P课本88

例1 四、本节小结：

五、作业布置：

4