3.1.3 空间向量的数量积运算优质课教案推荐

空间向量的数量积运算导学稿（学生版）

编写人：陈明生

一、课题：空间向量的数量积运算（人教版A版数学新课标选修2—1 P90—91）

二、教学目标：

1、掌握空间向量的数量积，能用向量的数量积判断向量的平行与垂直

2、能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；

3、能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；

4、能用向量方法判断空间线面垂直关系。

教学目标说明：目标1、2是本课的基础，目标3是本课的重点。

三、课时安排：1课时

四、学习内容及程序：

（一）基础知识回顾

平面向量的数量积及其运算律

（二）课前自主学习内容与要求（无）

（三）课内学习内容及程序：

1、自主学习P90，并填空。

（1）．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b

的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b

（2）．向量的模：

设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：

（3）．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作

即ab

．

（4）．空间向量数量积的性质：

（a）ae|a|cosa,e．

（b）abab0．

（c）|a|aa．

（5）．空间向量数量积运算律：

（a）(a)b(ab)a(b)．

（b）abba（交换律）．

（c）a(bc)abac（分配律）．

2、例题回顾：

要求学生在自学完例1、2后，不看教材，能用自己的话简要说明教材中解法的解答

过程，然后解答过程重新写出来。

1 尚贤砺学

人本发展

自强不息

立世为民

2教学注记

2，则称a与b互相垂直，记作：

；

例1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这

条斜线垂直。（三垂线定理）

已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，AB，A为垂足，CD,CDOA

求证：CDOB

证明：

B D O A C

例2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

（直线于平面垂直的判定定理）

已知：m,n,mnB，lm,ln

求证：l

证明：

3、补充例题：

例3．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

证明：

2 尚贤砺学

人本发展

自强不息

立世为民

本题小结：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示

未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例4．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，

OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：

O

A

B

C

4、堂上练习：

已知ABC中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1,C=30°,则BCCA=

。

本题小结：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC135易错写成OA,AC45，切记！

5、课堂小结：

下面请同学们在2分钟内将今天所学的内容迅速的回顾一遍。

（四）课后巩固训练

，则（e1e2）(3e12e2)等于（

）

395A.-8

B.

C. 

D.8 222、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与2e2e1垂直的是（

）

31、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为

A. e1e2

B. e1e2

C. e1

D. e2

3、在ABC中，设ABa，BCb，CAc，若a(ab)0，则ABC（

）

(A)

直角三角形

(B)锐角三角形

(C)钝角三角形

(D)无法判定

4、已知a和b是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，

求a与b的夹角。

3 尚贤砺学

人本发展

自强不息

立世为民

5、已知OA、OB、OC是非零的单位向量，且OA+OB+OC=0，求证：

ABC

为正三角形。

6、已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，

试求：（1）(ab)2；（2）(a2bc)2；（3）(3a2b)(b3c)．

7、如图，在平行六面体ABCD—ABCD中，AB4，

''''D'A'B'C'

aAD3,AA'5,BAD90,BAA'60，求AC'的长

教学反思：

ADCB4 尚贤砺学

人本发展

自强不息

立世为民