3.1.1 空间向量及其加减运算课时教学实录

3.1空间向量及其运算（一）

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会

用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用向量解决立体几何问题．

教学方法：讨论式．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

平面向量有关知识

Ⅱ.新课讲授

空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？

空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．

空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？

OBOAAB=a+b，

，

ABOBOA（指向被减向量）OPλa

(R)

空间向量加法与数乘向量有如下运算律：

⑴加法交换律：a + b = b + a；

⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）

⑶数乘分配律：λ(a + b)

=λa +λb．

注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10．

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

例1、给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量a、b满足|a||b|，则ab；（3）在正方体ABCDA1BC；11D1中，必有ACAC11（4）若空间向量m、n、p满足mn,np，则（5）空间中任意两个单位向量必相等。其中不正确命题的个数是（mp；C）A.1 B.2 C.3 D.4ABCDA'B'C'D'，化简下例2已知平行六面体列向量表达式，并标出化简结果的向量：⑴ABBC；⑵ABADAA'；(3)ABCBAA(4)ACDBDCADBCA’D’B’C’例3、在如图所示的平行六面体中，求证：ACABAD2AC.D’B’C’变式：已知平行六面体ABCDABCD,则下列四式中：(1)ABCBAC;(2)ACABBCCC;(3)AACC;(4)ABBBBCCCAC.A’DBCA其中正确的是。例4、如图所示，在正方体ABCDA1BC11D1中，下列各式中运算的结果为向量AC1的共有（）(1)(ABBC)CC1;(2)(AA1A1D1)D1C1;(3)(ABBB1)B1C1;(4)(AA1A1B1)B1C1.A.1 B.2 C.3 D.4变式：化简：(1)(ABCD)(ACBD)(2)ABCBADAD

Ⅲ.巩固练习

课本P86

练习

Ⅳ.

教学反思

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．

关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．

Ⅴ.课后作业

空间四边形ABCD中，ABa ， BC＝b ， ADc ，

试用a,b,c来表示CD，AC,BD.⒈

本P971、2、