2.2.1 椭圆的标准方程优秀教学实录

教学设计方案

课题名称：《椭圆及其标准方程》

姓名：

学科年级：

一、教学内容分析

（一）教材地位：

椭圆是本章中学到的第一个圆锥曲线，也是三种圆锥曲线中最重要的一个。对上一节来言，是运用坐标法

究曲线几何性质的一次实际运用，也是进一步研究椭圆几何性质的基础。本节起着承上启下的作用。

汤巧娥

数学 高二

工作单位：

教材版本：

秦皇岛实验中学

人教A版

（二）重点、难点：

1．重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用

2. 难点：标准方程的建立与推导

二、教学目标

（一）知识与技能

1. 掌握椭圆的定义和标准方程；

2. 会求简单的椭圆方程；

（二）过程与方法

1.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

2.在数学思想方法的不断渗透过程中，学生能自觉利用数学思想方法分析和解决问题。

（三）情感、态度与价值观

1.通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风。

2.通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美、数与形的和谐美。

三、学习者特征分析

知识储备：必修二学习了直线方程，圆的方程，初步体会了方程与几何对象的对应关系，并能运用代数方程解决一些简单的几何问题。

方法储备：由于必修二直线方程和圆的方程的学习和本章第一节曲线与方程的学习，学生应基本理解运用坐标法将几何问题代数化的想法，但还缺少实际运用，对方法的认识不够深刻。

四、教学过程

1、每个教学环节均通过“问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律”，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．为体现新的教学理念，更好地培养学生自主学习的能力，提高学生的综合素质。

2、在本节课的教学中我主要采用了探究式的教学方法.本节课我给学生提供了以下4个自主探究的机会：

探究1：椭圆定义的得出．通过亲自动手实验，观察思考，总结归纳出椭圆的定义；

探究2：如何建立适当直角坐标系．积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，自己得出最简洁的方案，而不是被动地接受课本或老师所给的方案；

探究3：标准方程的推导．先放手给学生组内讨论解决，教师协从指导，师生共同完成；

1

探究4：巩固应用．对例题的处理，不是传统的教师一讲到底，而是学生自主分析，相互讨论，形成解题思路方法．

五、教学策略选择与信息技术融合的设计

教学策略

1、本节课椭圆无论在定义的发现还是方程的推导上都是很好的教学素材。因此在定义的发现环节，精心设计学生活动，有教师的展示，有学生的动手实验，注重概念的生成过程。

2、在方程的推导阶段，注重数学思想方法的渗透，类比的思想，数形结合的思想。不断强调几何关系和代数表示之间的关系，为学生充分领会解析几何的思想方法提供指导。

3、在例题的选取上，注重层次感，让不同层次的学生都能学到不同层次的数学。讲练结合，讲在关键处，讲在练之后，让学生经历挫折，调整，成功的过程。

4、在问题的设计方面，充分考虑不同层次的学生情况，充分体现学生的分组讨论，团结合作。在学生的分组上，考虑4人小组，每组依据层次编为1—4号，不同小组同号码段学生层次接近，营造即有合作又有竞争的课堂教学氛围。

信息技术利用多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．

教学

环节

以

境

激

情

（2-3分钟）

教学流程

材料1：行星运行模拟轨道图. 材料2：北京南站建筑

材料3: 珠宝

材料4：镜子

材料5：丰田车标

展示生活中椭圆图片

自制教具，拉线法黑板演示椭圆定义做出椭圆

教师引导演示，学生分组操作，提出问题

教师活动

设问1：请大家观察，我们能从中发现哪种共同的几何图形呢？

设问2：生活中处处都有这种美丽的曲线，我们称之为椭圆，怎样的曲线才是严格意义上的椭圆呢？是不是我们随手画的扁些的圆都是椭圆呢？我们这节课共同来认识椭圆。

设问3：在操作过程中，有哪些注意事项？

设问4：图钉不动，能否抽象为数学符号。笔尖滑动，如何表示？

设问5：笔尖滑动过程当中，绳长不变，表示笔尖这个动点满足什么几何条件？

设问6：通过椭圆的生成过程，能否给椭圆下一个定义？

预设学生活动

（集体回答）

发现研究对象，产生疑问，萌生兴趣

设计意图

利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生充分认识生活中的椭圆，明确本节课的研究方向，为下面学习做好心理准备。

合

作

探

究

（3-4分钟）

1.学生对设问3的回答会有困难。应可以回答到图钉固定，笔尖滑动。

2.绳长不变还需耐心引导。

引导学生从实验中分析抽象出几何关系，帮助学生总结归纳椭圆定义。

2

建

构

新

知

（3-5分钟）

椭圆定义：

总结归纳，板书椭圆定义，平面内与两个定强化学生认识。

点F1，F2的距离和等于常数（大于F1F2）设问7：椭圆定义关键词是什么？

的点的轨迹叫做椭圆。

设问8：常数有没有要求？为什这两个定点叫做么？

椭圆的焦点，两焦点我们已经理解了椭圆的间的距离叫做椭圆的设问9：定义，我们能否建立椭圆的方焦距。

程更精确的研究它呢？回忆曲

线方程的建立过程分为几步？

分别是？

1.找等量关系MF1MF22a

类比圆的方程的推导，首先要写出椭圆上的点所满足的等量关系。

1.学生基本能理解椭圆定义，但对于常数范围，平面前提容易忽略。

通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力和严谨性）

2. 建系设点

以F1,F2所在的直线为设问1：请观察椭圆的几何特x轴，线段F1,F2的中征，如何建系才能使椭圆的方点为原点建立直角坐程简单？

标系设M（x , y）,则F1(-c,0), F2(c,0) 3.代入

MF1MF22a(xc)y2

设出动点，写出已知点坐标。根据两点之间距离公式代入等量关系

设问2：如何化简去根号？（4号同学）

22

1.学生可能会有不同建系方法，指出合理建系，建议课后不同建系探讨。

2.先引导，再放手，降低问题的难度。学生能理解双根式方程的处理方法。需要针对性点评。

3.对直接平方的同学个别指导。

(xc)y22a4.化简

(xc)y2222(xc)y2aacxa(xc)y(ac)xaya(ac)xa2222222222222设问3：请大家分组讨论，尝试化简这个方程。

（多媒体展示学生化简过程。针对性讲评，3号小组代表）

y222ac1

椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师协从指导，再展示学生结果。

由椭圆定义可知，即ac，所2a2c，以

3

ab22ca22022

2c

yb22则有xa1

yMbF10acF2x设问4：从形的角度来来考虑，4.焦点在y轴的标准当点M移动到如图位置时，观方程，能发现焦点坐察MF1，MF2长多少？能否从标改变，部分同学能猜想得到方程，但理图中找出长为c的线段？那么（2组3号同学）

由说不清，需引导。

MO长为多少？设问5：如果椭圆的焦点在y轴上呢？请大家小组讨论，猜想椭圆的方程有何改变？（1组3号同学）

设问6：为什么？再推导一遍？

讲评：为xcy22教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．）

实物投影展示3号小图2组学生化简过程

xa22yb221的原始等式xcy222a

而焦点在y轴上时，由MF1MF22a得

ycx22ycx222a对比这两个等式，能发现什么结论？

概

念

辨

析

（1分钟）

请判断以下哪些方程表示椭圆，如果是，则判断焦点在哪个轴上？指出a2,b2。

xa22yb22（1）（2）（3）（4）x21(ab0)100x2y2236y1

36x2100y211．学生能直观感受发现椭圆的标准方程的形式特点，在不断与标准方程的对比中能发现焦点位置的判断方法。

2.学生对椭圆标准方程的特点认识不足。

(设计意图：使学生巩固掌握椭圆标准方程的形式和焦点位置判断，能初步运用椭圆定义)

36x236y21

ya22100361xb221(ab0)

请同学们总结分析椭圆标准方程的结构特点. （5）4x29y216

4

概

念

辨

析

（1分钟）

1.椭圆方程为x2100y2361，如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是 。

2.已知a10，焦距为16，焦点在坐标轴上，

则椭圆的标准方程为 。

范

例1.已知椭圆的两个请大家观察，目标是求椭例

焦点分别是2,0，圆的标准方程，即需要求出a2，2学

已知焦点，则有条件c2。2,0，并且经过点b。习

那么点在椭圆上这个条件如何35

求它的标准使用？数的角度如何理解？形,，22（3-5的方向是否有帮助？

方程。

分钟）

总结归纳：求椭圆方程的步骤

一．要分析椭圆的焦点位置，设出椭圆方程；

二．

运用椭圆定义或待定系数法解题。

每组同号同学抢答。

及时鼓励，总结。

学生分类讨论思想认识不深，容易漏解

1.较多学生会选用待定系数法，但是困于计算能力，无法求解得出。还有部分同学忽视a，b，c关系。

巩固椭圆定义和标准方程

（学会用待定系数法求椭圆的标准方程，体会椭圆定义在解题中的重要作用.）

归

纳

总

结

（1分钟）

思考

请根据所学知识完成下表。

已知平面内两定点分别是0,8，0,8，回顾一下本节课的知识点。

总结：我们理解了椭圆的定义，掌握了椭圆的标准方程，会求焦点坐标，熟记a，b，c的关系，

有哪些思想方法？

思想方法的总结会有困难，要提出在哪个环节运用了那种思想方法。

通过学生口述，检测学生课堂知识的掌握情况。通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生养成对所学知识及时总结提炼的习惯，不断提升自己。

一动点P到两定点的

距离之和为20，求动解释一下为什么会出现椭圆？

点P的轨迹方程。

请同学们课后完成。

部分同学会运用求曲考察学生分析问题解决问线方程的方法求轨题的能力。

迹，忽视椭圆定义。

针对本节课的教学重点：理解椭圆定义和会求简单椭圆的标准方程，设计作业题，帮助学生落实课程要求。

必做：1.P49 习题

2.2A组1,2

作

业

布

置

（1分钟）

5

六、教学评价设计

1、教学理念新，采用探究式教学，让学生主动学习，猜想小组合作探究性学习的色彩比较浓；

2、课堂氛围很活跃，能让学生亲自体会知识的产生过程，诱使学生讲出自己的想法。师生互动很好，这种互动并没有只停留在表面，而是思维上的互动，学生是“真”的融入到了本节课的教学当中；

3、多媒体的使用比较得当。

七、教学课件 已上传

附、板书设计：

选修2.2.1椭圆及其标准方程

标准方程的推导

例1：（要点）

例2：（要点）

练习

小结

作业

1．椭圆的定义

MF1MF22a（常数）

（2a

F1F2）

2．椭圆标准方程

（1）焦点在x轴上

xa22yb221（a>b>0）

（2）焦点在y轴上

ya22xb221(ab0)

a,b,c关系：a2bc22

八、教学反思

反思如下：1、要更进一步的挖掘教材，做一些难度较大的题目，只有这样才能锻炼自己，以后才能更好地写出这方面的论文，提高自己的能力

。

2、模式问题:自学，然后讲解，再练习。要不要改变这种模式呢？在运师是适合的，别的学校就不好说了,是需要值得探讨的问题。

2、要多以学生多的身份想一想，会不会做这一题，讲的时候要有快有慢，有分寸。

6

3、怎样提问，才能提高学生的注意力，怎样才能有感染力？要多学其他老师的提问艺术。

4、如果从新上这节课，将会删除难题。

5、从课后与学生谈话感到上课效果很好。

6、听课教师课后提出了很多建设性意见。

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