2.4.2 抛物线的几何性质课程导入

课题:抛物线的简单几何性质（2）

市北高中 李姝

教学目的：进一步研究抛物线的性质. 教学重点：初步掌握抛物线的焦半径及焦点弦长公式,并会较熟练地运用解题. 教学难点：使学生自觉利用焦半径及焦点弦长来解题. 教学方法：启发,讨论

教学设计过程: 一．复习提问

上节课我们同于研究椭圆,双曲线的简单几何性质一样从范围,对称性,顶点,离心率这几个方面研究了抛物线的几何性质.现在请同学们从这几个方面说说的几何性质. y22px（p0）教师画图,请学生对照说出性质,教师板书

.范围:x0,yR

对称性:关于x轴对称

顶点:（0,0）

离心率:e1

今天我们继续研究抛物线的几何性质，板书课题。

二．新课讲解

1．介绍焦半径公式

提问：抛物线的离心率的定义是什么？

（抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的比值叫做抛物线的离心率。）

y22px(p0)

教师：正因为e1，所以抛物线上任一点P到焦点的距离PF距离PH。若设P(x,y)，则

=x(等于P到准线的PF=PHpp)x

22（叙述同时在上图添上线段PF,PH）

这就是我们今天所要学习抛物线y22px(p0)的焦半径公式。它里面饱含了一种转化的思想，通过它我们可把焦半径长度用抛物线上的点的坐标表示出来。

2. 介绍焦点弦长公式

（下面手中延长AF交抛物线于点B，口中提问）

提问：若延长AF交抛物线于点B，那么AB是否能用点A,B的坐标来表示呢？

（提示问题：线段AB是由AF,BF组成，线段AF,BF是什么？）

若设点A(x1,y1)，点B(x2,y2).

ABAFBFx1x2p

这就是我们今天所要学习的抛物线y22px(p0)的焦点弦长公式，通过它我们可以把任意一条焦点弦的长度用它的两个端点的坐标表示出来。

思考：若抛物线的位置改变，那么它的焦半径公式，焦点弦长公式有何改变? （例举抛物线y22px(p0)的情况，让学生自己动手，提示：方法如上）

AB(

提问：若我们不知道点A,B的坐标，只知道线段AB的倾斜角为，那么AB该怎么计算呢？

学生讨论：

学生甲：设AB:ytan(x离公式。

学生乙：利用弦长公式AB1kx1x21k中ktan。

学生丙：利用焦点弦长公式ABAFBFx1x2p。

教师评述：甲的方法显然计算量很大，可操作性不强。我们尝试一下乙，丙的方法。

解：设AB:ytan(x22ppy1)(y2)p(y1y2)

22p)，与抛物线联立方程组求交点，再利用两点间距2(x1x2)24x1x2，其p)

2pytan(x)联立方程组2，

y22px消去y整理得

p2xtan(ptan2p)x0

4222

所以

ptan22px1x2tan2

2px1x24至此我们可发现丙的方法最简单。

ptan22p2pABAFBFx1x2pp

22tansin提问：那么是否通过以上论述就可下结论对于任一条焦点弦的弦长可通过焦点弦的倾斜角表示出来呢？

学生：不是，以上只适用于教师：若2的情况，还需考虑2的情况。

2，则sin1,A(pp,p),B(,p)，所以

22AB2p

满足AB2p(),故至此方可下结论对于任一条焦点弦的弦长可通过焦22sin点弦的倾斜角表示出来，并且由于sin2(0,1]可知ABmin2p，此时焦点弦垂直于x轴。像这种过抛物线焦点并垂直于抛物线对称轴的弦叫做通径。

提问：从上面的论述过程大家有否发现其他一些有趣的结论呢？

有，如

p2x1x2

4它说明焦点弦的两个端点的横坐标之积是一个定值。

提问：大家能够自然联想到什么呢？

焦点弦的两个端点的纵坐标之积是一个定值。因为

(y1y2)24px1x2p4

所以

2y1y2p2

教师总结：通过以上论述我们得到几个新的结论。若焦点弦端点坐标未知，已知焦点弦AB倾斜角的情况下，则

AB2p

sin2焦点弦长随倾斜角的改变而改变，当2，即焦点弦垂直于对称轴时，AB取得最小值为2p。但不论倾斜角如何改变，两个端点的横坐标之积，纵坐标之积都为定值，如

p2，y1y2p2

x1x24我们在此过程中要紧紧抓住已知量与未知量中变与不变的关系。

三．例题讲解：

例1．

抛物线y24x的焦点弦AB被焦点F分成长为m,n的两段(mn)，

则有

（

）

2222A. mnmn

B. mnmn

C.mnmn

Ｄ．mnmn

解：mx11,nx21mnx1x2(x1x2)1

p21，

则

利用x1x24mnx1x2(x1x2)1x1x22mn

故选A。

下面我们进一步探讨焦点弦的问题。对于焦点弦AB若有一个圆以AB为直径，那么这个圆与准线的位置关系如何呢？

（提示：我们一般通过什么方法判断直线与圆的位置关系的呢？）

学生：圆心到直线的距离与圆半径的关系来判断的。

教师：好的。下面我们就来看看圆心到准线l的距离与半径

解：设圆心为M，于是M为AB中点，MN垂直l，

则即MN为圆心M到l的距离，所以

1AB的关系。

2

MN111(ADBC)(AFBF)AB

222故以AB为直径的圆与准线相切。

教师总结：这个结论比较巧妙，关键一点在于抛物线离心率为１。从而大家能否连想得到对于椭圆，双曲线这个结论发生什么变化。这个问题留给大家的课后思考。

课堂练习：

１．过y220x焦点做倾斜角为3的弦，则弦长为＿＿＿＿＿。（４，０）

4２．抛物线y28x被过焦点且倾斜角为135的直线所截，则截得的线段中点坐标为＿＿＿＿。（６，－４）

四．课堂小结：

１．焦半径公式，焦点弦长公式，抓住已知量与未知量变与不变的关系

２．焦半径公式，焦点弦长公式在解题过程中有广泛的应用，当题目中涉及有关条件时能自觉应用其来解决问题。