1.2 充分条件与必要条件（通用）优质课教学设计

北京师范大学东莞石竹附属学校

高中数学组

宋瑞科

学生姓名

年级

授课时间

教师姓名

课时

课题

充分条件和必要条件

1）

理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；

教学目标

2）

会判断充分条件，必要条件和充要条件．

3）

从集合的观点理解充要条件。

4）

会证明简单的充要条件的命题。

充分条件，必要条件和充要条件的判断．

充要条件的理解和充要条件的命题的证明。

重

点

难

点

【知识点梳理】

1、命题“若p则q”为真，记作pq；“若p则q”为假，记作“p q”.

2、充分与必要条件：

①如果已知pq，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件. ②如果既有pq，又有qq，即pq,则称p是q的充要条件.

3、充分、必要条件与四种命题的关系：

①如果p是q的充分条件，则原命题“若p则q”以及逆否命题“若

p则

q”都是真命题. ②如果p是q的必要条件，则逆命题“若q则p”以及否命题“若

p则

q”为真命题. ③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题。

4、充要条件的判断方法：

四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法，集合思想）；⑶确定条件是结论的什么条件. 【典型例题分析】

例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. x2,xy4,（1）是的___________________条件；

y2.xy4.（2）(x4)(x1)0是x40的___________________条件；

x1（3）是tantan的___________________条件；

（4）xy3是x1或y2的___________________条件. 分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用. x2,xy4,1解：（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若x，y10，有2y2.xy4.

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xy4,x2,x2,xy4,，但不成立，所以是的充分不必要条件. xy4.y2.y2.xy4.（2）因为(x4)(x1)0的解集为[1,4]，x40的必要不充分条件. x1x40的解集为(1,4]，故(x4)(x1)0是x1（3）当2时，tan,tan均不存在；当tantan时，取4，5，但，4所以是tantan的既不充分也不必要条件. （4）原问题等价其逆否形式，即判断“x1且y2是xy3的____条件”，故xy3是x1或y2的充分不必要条件. 点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.

例2.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的_________条件. 分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答. 解：

prq

s

故p是s的的充要条件. 点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用. 例3.已知p:xx20，q:{x1mx1m,m0}，若p是q的必要不充分条件，x100求实数m的取值范围. 分析：若p是q的必要不充分条件等价其逆否形式，即q是p的必要不充分条件. 解：由题知：p:Px2x10，q:Q{x1mx1m,m0}

p是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件. 1m2,PØQ，即1m10,得m9. m0.故m的取值范围为m9. 2

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点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合PQ，则P是Q的充分条件；若集合PQ，则P是Q的必要条件；若集合PQ，则P是Q的充要条件．

例4.求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为－1的充要条件是abc0．

分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．

证明：必要性：若x1是方程ax2bxc0的根，求证：abc0．

x1是方程ax2bxc0的根，a(1)2b(1)c0，即abc0．

充分性：关于x的方程ax2bxc0的系数满足abc0，求证：方程有一根为－1．

abc0，bac，代入方程得：ax2(ac)xc0，

得(axc)(x1)0，x1是方程ax2bxc0的一个根．

故原命题成立．

点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可

【小结】

1.

理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．

2.

从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：

若集合PQ，则P是Q的充分条件；

若集合PQ，则P是Q的必要条件；

若集合PQ，则P是Q的充要条件．

3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力

【课堂练习】

【基础达标】

1.若pq，则p是q的充分条件．若qp，则p是q的必要条件．若pq，则p是q的充要条件．

2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）已知p:x2，q:x2，那么p是q的_____充分不必要___条件．

（2）已知p:两直线平行，q:内错角相等，那么p是q的____充要_____条件． （3）已知p:四边形的四条边相等，q:四边形是正方形，那么p是q的__必要不充分 条件．

3

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（4）已知p:ab，q:ac2bc2，那么p是q的____必要不充分___条件． 3.函数yax2bxc(a0)过原点的充要条件是c0．

4.对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“ab”是“acbc”充要条件；②“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；

④“a<5”是“a<3”的必要条件.

其中真命题的序号是____②_④___．

5.若xR，则x1的一个必要不充分条件是x0．

【能力提高】

必要不充分

6．设集合M{xx2}，P{xx3}，则“x(MP)”是“x(MP)”的__________条件．

7．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；

④p是s的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件，其中正确命题序号是______①②④____．

8．已知条件p:A{xRx2ax10}，条件q:B{xRx23x20}．若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：q:B{xR1x2}，若q是p的充分不必要条件，则AB．

若A，则a240，即2a2；

a240,52a2．

若A，则aa24解得aa42x,225综上所述，a2．

2【探究创新】

9．已知关于x的方程(1a)x2(a2)x40，aR．求：

（1）方程有两个正根的充要条件；

（2）方程至少有一个正根的充要条件．

a1,1a0,解：（1）方程(1a)x2(a2)x40有两个正根的充要条件

a2或10.0.设此时方程的两实根为x1，x2，则

x1x20,a1．

x1，x2的正数的充要条件是x1x20.4

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综上，方程有两个正根的充要条件为1a2或a10．

（2）①方程有两个正根，由（1）知1a2或a10．

4②当a1时，方程化为3x40，有一个正根x．

31a0,③方程无零根，故方程有一正根，一负根的充要条件是0,即a1．

xx0.12综上，方程至少有一正根的充要条件是a2或a10．

【课后作业】

1．设集合M{x|0x3}，N{x|0x2}，则“aM”是“aN”的_必要不充分

条件．

充分不必要

2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的 条件．

3．设f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的______充分不必要______条件． 4．已知p:a0，q:ab0，则p是q的_____必要不充分_______条件． 5．集合A＝{x|x1＜0}，B＝｛x

||

x

－b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条件，x1则b的取值范围是2b2．

6．有限集合S中元素个数记作cardS，设A、B都为有限集合，给出下列命题：

①AB的充要条件是cardAB= cardA+ cardB；

②AB的必要条件是cardAcardB；

③AB的充分条件是cardAcardB；

④AB的充要条件是cardAcardB. 其中真命题的序号是_①②__．

7．已知函数f(x)x2xab(xR)，求证：函数f(x)是偶函数的充要条件为a0．

证：充分性：定义域关于原点对称．

a0，f(x)x2xb，f(x)(x)2xbx2xb，

所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数．

必要性：因为f(x)是偶函数，则对任意x有f(x)f(x)，

得(x)2xabx2xab，即xaxa，所以a0．

综上所述，原命题得证．

作业

5