3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计与反思

第三章

空间向量与立体几何

§3.1

空间向量及其运算

3.1.1

空间向量及其加减运算

课时目标

1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．

2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．

2．几类特殊向量

(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________．

(2)单位向量：________的向量称为单位向量．

(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．

(4)相反向量：与向量a长度______而方向________的向量，称为a的相反向量，记为________．

3．空间向量的加减法与运算律

空间向量

的加减法

类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：→→→→→→OB＝OA＋AB＝__________；CA＝OA－OC＝________. (1)交换律：a＋b＝________ (2)结合律：(a＋b)＋c＝____________.；

加法运

算律

一、选择题

1．下列命题中，假命题是(

) →→A. 向量AB与BA的长度相等

B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等

2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则下列等式成立的是(

)

→→→→→→A. OA＋OB＝AB

B. OA＋OB＝BA

→→→→→→C. AO－OB＝AB

D. OA－OB＝CD

→→→→3.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2OA＋OB＋OC=0，则AO等于(

) →→A. OB

B. OC

C.

 D.2

ODOD

→→→→→→4.已知向量AB，AC，BC满足|AB|＝|AC|＋|BC|，则(

) →→→→→→A. AB＝AC＋BC

B. AB＝－AC－BC

→→→→C. AC与BC同向

D. 与AC与CB同向

→→→5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式DD1-AB+BC化简后的结果是(

)

→A. BD1

B. D1B C.B1D D. DB1

6．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则(

) →→A.＋GH＋PQ＝0

B. EF→→－GH－PQ＝0

EFEF→→→→C.＋GH－PQ＝0

D.－GH＋PQ＝0

EF二、填空题

7.在平行六面体ABCD－A’B’C’D’中，与向量A'B'的模相等的向量有________个．

→→8.若G为△ABC内一点，且满足AG＋BG＋CG＝0，则G为△ABC的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”) 9．判断下列各命题的真假：

→→①向量AB的长度与向量BA的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．

其中假命题的个数为________．

三、解答题

10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．

→→①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②单位向量都相等；→③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝→DC；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．

11.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点，→→→→→→请化简：AB＋BC＋CD，(2)AB＋GD＋EC，并标出化简结果的向量．

能力提升

12.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线→→→与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF等于(

) 1112A.a＋b

B.a＋b

42331121C.a＋b

D.a＋b

243313．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．

1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．

2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．

3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．

4．a－b表示的是由b的终点指向a的终点的一条有向线段．

第三章

空间向量与立体几何

§3.1

空间向量及其运算

3．1.1

空间向量及其加减运算

知识梳理

1．大小

方向

(2)大小

模

(3)①有向线段

→②AB

2．(1)长度为0

0

(2)模为1

(3)相同

相等

(4)相等

相反

－a

3．a＋b

a－b

(1)b＋a

(2)a＋(b＋c) 作业设计

1．D

[共线的单位向量是相等向量或相反向量．] →→→→2．D

[OA－OB＝BA＝CD.] →→→3．C

[∵D为BC边中点，∴OB＋OC＝2OD，

→→→→∴OA＋OD＝0，∴AO＝OD.] →→→→→4．D

[由|AB|＝|AC|＋|BC|＝|AC|＋|CB|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之→→和大于第三边矛盾，所以AC与CB同向．] 5．A

[如图所示，

→→→→∵DD1＝AA1，DD1－AB

→→→＝AA1－AB＝BA1，

→→→BA1＋BC＝BD1，

→→→→∴DD1－AB＋BC＝BD1.] →→→6．A

[观察平行六面体ABCD—A1B1C1D1可知，向量EF，GH，PQ平移后可以首尾相

→→→连，于是EF＋GH＋PQ＝0.] 7．7 →→→→→解析

|D'C'|＝|DC|＝|C'D'|＝|CD|＝|BA| →→→＝|AB|＝|B'A'|＝|A'B'|. 8．重心

解析

→→→→如图，取BC的中点O，AC的中点D，连结OG、DG.由题意知AG＝－BG－CG＝GB＋→→→→GC＝2GO，同理BG＝2GD，故G为△ABC的重心．

9．3 解析

①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．

10．解

①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．

→→→→→→11．解

(1) AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD. (2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点．

→→→→∴BE＝EC，EF＝GD. →→→∴AB＋GD＋EC

→→→→＝AB＋EF＋BE＝AF. →→故所求向量AD，AF，如图所示．

2→→→→12．D

[AF＝AC＋CF＝a＋CD

3121＝a＋(b－a)＝a＋b.] 33313．证明

如图所示，平行六面体ABCD—A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，

→1→则AO＝AC'

21→→→＝(AB＋AD＋AA')．

2设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点．

→→→1→则AP＝AB＋BP＝AB＋BD'

2→1→→→＝AB＋(BA＋BC＋BB') 2→1→→→＝AB＋(－AB＋AD＋AA') 21→→→＝(AB＋AD＋AA')．

2→1→→→同理可证：AM＝(AB＋AD＋AA') 2→1→→→AN＝(AB＋AD＋AA')．

2由此可知O，P，M，N四点重合．

故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．