3.2.1 几个常用函数的导数教案和学案内容

§3.2

导数的计算

第1课时

几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

1学习目标

1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝x的导数.2.能利用给出的基x本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

知识点一

几个常用函数的导数

原函数

f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2

1f(x)＝

xf(x)＝x

知识点二

基本初等函数的导数公式

原函数

f(x)＝c(c为常数)

f(x)＝xα(α∈Q*)

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax

f(x)＝ex

f(x)＝logax f(x)＝ln x

导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝αxα1

－导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x

1f′(x)＝－2

x1f′(x)＝

2xf′(x)＝cos_x

f′(x)＝－sin_x

f′(x)＝axln_a(a>0) f′(x)＝ex

1f′(x)＝(a>0，且a≠1) xln a1f′(x)＝

x

131．若y＝3，则y′＝×3＝.(

×

) 222．若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(

×

) 113．因为(ln x)′＝，则x′＝ln x．(

×

) x

类型一

利用导数公式求函数的导数

例1

求下列函数的导数．

1(1)y＝x12；(2)y＝4；(3)y＝5x3；

xxx(4)y＝2sin cos ；(5)y＝log1x；(6)y＝3x. 222考点

基本初等函数的导数公式

题点

利用导数公式求函数的导数

解

(1)y′＝(x12)′＝12x121＝12x11. －(2)y′＝(x4)′＝－4x－－4－14－＝－4x5＝－5. x331535323(3)y′＝(x)′＝x＝x＝x5＝

. 52555x53xx(4)∵y＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝cos x. 2211(5)y′＝log1x＝＝－. 1xln 22xln 2(6)y′＝(3x)′＝3xln 3. 反思与感悟

若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．

跟踪训练1

求下列函数的导数．

(1)y＝(1－x)1＋1＋x；

xx(2)y＝2cos2－1. 2考点

基本初等函数的导数公式

题点

利用导数公式求函数的导数

解

(1)∵y＝(1－x)1＋1＋x

x1－x1＝＋x＝＝x2，

xx1312∴y′＝x. 2x(2)∵y＝2cos2－1＝cos x，

2∴y′＝(cos x)′＝－sin x. 类型二

导数公式的应用

命题角度1

求切线方程

例2

已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由．

考点

导数的应用

题意

导数的应用

解

因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．

4－1设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝＝1，

2＋11而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－. 211－，. 所以切点为2411x＋，

所以所求切线方程为y－＝(－1)24即4x＋4y＋1＝0. 引申探究

若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．

解

因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，

则y'|xx＝2x0，

04－1又因为PQ的斜率为k＝＝1，

2＋11而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝. 211所以切点为M2，4. 11所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 42反思与感悟

解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用

(1)切点处的导数是切线的斜率．

(2)切点在切线上．

(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．

跟踪训练2

已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．

考点

导数的应用

题点

导数的应用

解

设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，

则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y'|xx＝cos x0，k2＝y'|xx＝－sin x0. 00要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，

即sin 2x0＝2，这是不可能的．

所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．

命题角度2

求切点坐标

例3

求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．

考点

导数的应用

题点

导数的应用

解

依题意知抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最2短，设切点坐标为(x0，x0)．

1∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，

211∴切点坐标为2，4，

∴所求的最短距离d＝1－1－224722＝8. 反思与感悟

利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．

跟踪训练3

已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．

考点

导数的应用

题点

导数的应用

解

设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率k＝y′＝2x0，

∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0

＝1. 故可得M(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.

由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，

∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，

故点M(1,1)即为所求弧AOB上的点P，使△ABP的面积最大．

1．下列结论：

①(sin x)′＝cos x；②52x3＝x3；

③(log13x)′＝3ln x；④(ln x)′＝1x. 其中正确的有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

考点

基本初等函数的导数公式

题点

利用导数公式求函数的导数

答案

C 2解析

∵②x535′＝3x3；③(log13x)′＝xln 3，

∴②③错误，故选C. 2．质点的运动方程是s＝1t4(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3 s时的速度为(

A．－4×3－4 m/s

B．－3×3－4 m/s C．－5×3－5 m/s

D．－4×3－5 m/s 考点

几个常用函数的导数

题点

几个常用函数导数的应用

答案

D 解析

∵s′＝1t4′＝－4t－5，

∴s′|t＝3＝－4×3－5. 则质点在t＝3 s时的速度为－4×3－5 m/s. 3．曲线y＝ln x在x＝1处切线的倾斜角为(

) A．1

B．－π4

C.π4

D.5π4

)

考点

基本初等函数的导数公式

题点

指数函数、对数函数的导数

答案

C π解析

y′|x＝1＝1，则切线的倾斜角为. 44．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为________．

考点

基本初等函数的导数公式

题点

常数、幂函数的导数

答案

x－y＋1＝0 解析

y′|x＝0＝1，

∴切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0. 5．当常数k为何值时，直线y＝kx与曲线y＝x2相切？请求出切点．

考点

几个常用函数的导数

题点

几个常用函数导数的应用

解

设切点为A(x0，x20)，因为y′＝2x，

2x0＝k，所以2

x＝kx，00

所以k＝0，故当k＝0时，直线y＝kx与曲线y＝x2相切，且切点坐标为(0,0)．

1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．

2．有些函数可先化简再应用公式求导．

xx如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，

22所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.

一、选择题

1．下列结论中正确的个数为(

) 112①y＝ln 2，则y′＝；②y＝f(x)＝2，则f′(3)＝－；

2x271③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝. xln 2A．0

B．1

C．2

D．3

考点

基本初等函数的导数公式

题点

基本初等函数的导数公式的应用

答案

D 解析

①中y＝ln 2为常数，

所以y′＝0.①错．

11等于(

) 2．已知f(x)＝，则ff′5xA．－25

1C.

25考点

几个常用函数的导数

题点

几个常用函数导数的应用

答案

B 111f′1＝f(－25)＝－1. 解析

因为f(x)＝，所以f′(x)＝－2.故f′＝－25，f55xx253．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a等于(

) A．4

B．－4

C．5

D．－5 考点

基本初等函数的导数公式

题点

常数、幂函数的导数

答案

A 解析

∵f′(x)＝axa1，f′(－1)＝a(－1)a1＝－4，

－－1B．－

25D．25 ∴a＝4. 14．正弦曲线y＝sin x上切线的斜率等于的点为(

) 2π3A.，

32π3π3B.－，－或，

2323π3C.2kπ＋，

(k∈Z) 32π3π3D.2kπ＋，或2kπ－，－

(k∈Z) 3232考点

基本初等函数的导数公式

题点

正弦、余弦函数的导数

答案

D 11π解析

设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cos x0＝，∴x0＝2kπ＋223

π33或2kπ－，k∈Z，∴y0＝或－. 3225．函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为(

) A.94e2

B．2e2

C．e2

D.e22

考点

基本初等函数的导数公式

题点

指数函数、对数函数的导数

答案

D 解析

∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，

∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，

即y＝e2x－e2. 当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1. ∴S＝1×1×|－e2|＝1e222. 6．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b等于(

A．4

B．－4

C．28

D．－28 考点

基本初等函数的导数公式

题点

常数、幂函数的导数

答案

C 解析

∵点(2,8)在切线上，∴2k＋b＝8，①

又y′|x＝2＝3×22＝12＝k，②

由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28. 7．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(

) A．e

B．－e

C.1e

D．－1e

考点

基本初等函数的导数公式

题点

指数函数、对数函数的导数

答案

C 解析

设切点坐标为(x0，ln x0)，

则切线的斜率为y'|1xx＝，

0x0又切线斜率可表示为ln x0－0x－0，

0∴1x＝ln x0，则x0x00＝e，

)

1∴切线的斜率为.

e8．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 016(x)等于(

) A．sin x

C．cos x

考点

基本初等函数的导数公式

题点

正弦余弦函数的导数

答案

A 解析

f1(x)＝f′0(x)＝(sin x)′＝cos x，

f2(x)＝f′1(x)＝(cos x)′＝－sin x，

f3(x)＝f′2(x)＝(－sin x)′＝－cos x，

f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，

f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，

f6(x)＝f2(x)，…，

fn＋4(x)＝fn(x)，

可知周期为4，

∴f2 016(x)＝f504×4(x)＝sin x. 二、填空题

119．已知f(x)＝，g(x)＝mx且g′(2)＝，则m＝________. xf′2考点

几个常用函数的导数

题点

几个常用函数导数的应用

答案

－4 11解析

∵f′(x)＝－2，g′(x)＝m，∴f′(2)＝－，

x41又g′(2)＝，∴m＝－4. f′2110．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为x________．

考点

基本初等函数的导数公式

题点

指数函数、对数函数的导数

答案

(1,1) 解析

因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1. 11设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－2(x>0)，

xxB．－sin x

D．－cos x

11曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－2(m>0)．

xm因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，

所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．

11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为___________．

考点

基本初等函数的导数公式

题点

正弦、余弦函数的导数

π

x＝＋2kπ，k∈Z答案

x2

解析

∵f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1，

由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，

即sin x≥1，则sin x＝1，

π解得x＝＋2kπ，k∈Z，

2π. x＝＋2kπ，k∈Z∴其解集为x2

1112．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝22________. 考点

几个常用函数的导数

题点

几个常用函数导数的应用

答案

64 113解析

∵y＝x－，∴y′＝－x－，

222113∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，

222113∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．

22231令x＝0，得y＝a－；令y＝0，得x＝3a，

22∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

13191S＝·3a·a－＝a＝18，

22242∴a＝64. 三、解答题

13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．

考点

基本初等函数的导数公式

题点

指数函数、对数函数的导数

解

如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，

则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，

又y′＝(ex)′＝ex，

所以ex0＝1，得x0＝0，

代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．

利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 四、探究与拓展

14．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)等于(

) A．1

B．2 C．3

D．4 考点

基本初等函数的导数公式

题点

指数函数、对数函数的导数

答案

B 解析

设ex＝t，则x＝ln t(t>0)，

∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2. 15．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是(

) A．f(x)＝ex

B．f(x)＝x3

C．f(x)＝ln x

D．f(x)＝sin x

考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

D 解析

若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1. 因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln x)′不会使切线斜率之积为－1，故选D. 1x>0，所以＝