3.1.2 导数的概念优质教案设计

3.1

变化率与导数

第一课时

1.

教学目标 知识与技能

1.理解平均变化率的概念. 2.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念. 3.理解导数的概念。

4.会求函数在某点的导数或瞬时变化率. 过程与方法

理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．

情感、态度与价值观

感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．

2.

教学重点/难点 教学重点：平均变化率、瞬时变化率的概念．

教学难点：平均变化率概念的形成过程．

3.

教学用具 多媒体、板书

4. 教学过程 教学过程设计

创设情景、引入课题

【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

新知探究

1.变化率问题

探究1 气球膨胀率

【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是

如果将半径r表示为体积V的函数,那么

【分析】

（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

（2）

当V从1增加到2时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

0.62>0.16，可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

解析：

探究2

高台跳水

【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。

【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

探究3

计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

（1）

运动员在这段时间里是静止的吗? （2）

你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态. 【活动】师生共同归纳出结论

平均变化率: 上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子表示.

我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率. 习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1) 这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：

【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率

的几何意义是什么？

【提示】：直线AB的斜率

【设计意图】问题的目的是：

①

让学生加深对平均变化率的理解；

②

为下节课学习导数的几何意义作辅垫；

③ 培养学生数形结合的能力。

2.导数的概念

探究1

何为瞬时速度

2.【板演/PPT】

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

解：

探究2 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? 从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值

–13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是

–13.1 m/s. 为了表述方便，我们用

表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度趋近于确定值– 13.1”. 【瞬时速度】

我们用

表示

“当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”. 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻

的瞬时速度?

【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t＝2秒时的瞬时速度。

探究3: （1）.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? （2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念: 一般地，函数 y = f(x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

称为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数,

记作

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1.

求函数的改变量

2.

求平均变化率

3.

求值

【典例精讲】

例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位:

)为 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是

根据导数的定义,

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3/h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升. 例2.求函数处的导数．

【小结】

1．求导方法简记为：一差、二化、三趋近．

2．求函数在某一点导数的方法有两种：一种是直接求出函数在该点的导数；另一种是求出导函数，再求导数在该点的函数值，此方法是常用方法．

【当堂训练】

1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为

( ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx

D．f(x0＋Δx)－f(x0) 2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是

( ) A．4 B．4.1 C．0.41

D．－1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。

4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

【作业布置】

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 P.10 习题1.1 A组1,2,3,4.

板书