1.2.1 充要条件教案公开课一等奖

人教A版选修2—1

第一章

常用逻辑用语

§1.2.1

充分条件与必要条件

学习目标

1. 理解必要条件和充分条件的意义；

2. 能判断两个命题之间的关系. 3. 理解充要条件的概念；

4. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性. 学习过程

一、新课导学

※

学习探究

探究任务一：充分条件和必要条件的概念

问题：

1. 命题“若xa2b2，则x2ab”

（1）判断该命题的真假；

（2）改写成“若p，则q”的形式，则

P：

q：

（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：

读着：

2. 1.命题“若ab0,则a0”

（1）判断该命题的真假；

（2）改写成“若p，则q”的形式，则

P：

q：

（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：

读着：

新知：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p

通过推理可以得出q.我们就说,由p推出q,记作pq,并且说p是q的

,q是p的

试试：用符号“”与“”填空：

（1）

x2y2

xy；

（2）

内错角相等

两直线平行；

（3）

整数a能被6整除

a的个位数字为偶数；

（4）

acbc

ab. ※

典型例题

例1．

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x1，则x24x30；

（2）若f(x)x，则f(x)在(,)上为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数. 练习：下列“若P，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

（2）若x5，则x10

例2．

下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？

（1）若xy，则x2y2；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；

（3）若ab，则acbc

练习：下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？

（1）若a5是无理数，则a是无理数；

（2）若(xa)(xb)0，则xa. 小结：判断命题的真假是解题的关键. 探究任务二：充要条件概念

问题：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2 和3的倍数.那么p是q的什么条件?q又是p的什么条件? 新知：如果pq,那么p与q互为

试试：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？

（1）若平面外一条直线a与平面内一条直线平行，则直线a与平面平行；

（2）若直线a与平面内两条直线垂直，则直线a

与平面垂直. 反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题. ※

典型例题

例3．

下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1) p: b0,q:函数f(x)ax2bxc是偶函数；

(2) p: x0,y0,

q:xy0

(3) p: ab

，

q:acbc

变式：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p是q的充要条件? (1) p: b0

,q:函数f(x)ax2bxc是偶函数；

(2) p: x0,y0,

q:xy0

(3) p: ab

，

q:acbc

小结：判断是否充要条件两种方法

（1）pq且qp；

（2）原命题、逆命题均为真命题；

(3) 用逆否命题转化. 练习：在下列各题中, p是q的充要条件? (1) p:x23x4

, q:x3x4

(2) p: x30,

q:(x3)(x4)0

(3) p: b24ac0(a0)

,

q:ax2bxc0(a0)

(4) p: x1是方程ax2bxc0的根

q:abc0

例4.已知：O的半径为r，圆心O到直线的距离为d.求证:dr是直线l与O相切的充要条件. 变式：已知：O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，证明: (1)若dr，则直线l与O相切. (2)若直线l与O相切,则dr

小结：证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性. 练1. 下列各题中p是q的什么条件？

（1）p：x1，q：x1x1；

（2）p：|x2|3，q：1x5

；

（3）p：x2，q：x33x

；

（4）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形.

练2. 求圆(xa)2(yb)2r2经过原点的充要条件. 二、总结提升

※

学习小结

※

知识拓展

1.为两个集合,集合AB，那么xA是xB的

条件，xB是xA的

条件. 2．B为两个集合，集合AB是指xAxB，则“xA”与“xB”互为

件.

※

当堂检测

1.x,yR，下列各式中哪个是“xy0”的必要条件？（

）. A.xy0

B.x2y20

C.xy0

D.x3y30

2.p:x20,q：(x2)(x3)0，p是q的

条件. 3. p：两个三角形相似；q：两个三角形全等，p

是q的

条件. 4．xMN”是“xMN”的（

）. A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5．的一个必要不充分条件是（

）. 11A.x3

B.x0

221C.3x

D.1x6

2课后作业

1. 判断下列命题的真假

（1）“ab”是“a2b2”的充分条件；

|||b”是“a2b2”的必要条件. （2）“|a2. 已知A{x|x满足条件p}，B{x|x满足条件q}. (1)如果AB,那么p是q的什么条件? (2)如果BA,那么p是q的什么条件? 3 证明：a2b0是直线ax2y30和直线xby20垂直的充要条件. 4求证：ABC是等边三角形的充要条件是a2b2c2abacbc，这里a,b,c是ABC的三边.