复习参考题教学设计及教案分析

教学设计

聚焦教学重难点的信息化教学设计

课题名称：立体几何中的向量方法

姓名：

樊永祥

工作单位：

学科年级：

数学

高二年级

教材版本：

昆明市官二中

人教版高中数选修2-1

一、教学内容分析（简要说明课题来源、学习内容、这节课的价值以及学习内容的重要性）

人教版高中数学选修2-1,

立体几何中的向量方法,

立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。用向量法处理何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。

知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。

二、教学目标（从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度对该课题预计要达到的教学目标做出一个整体描认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并熟练准确的求解结果及完整合理的表达。

能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从

“定性”

推理到“定量”

计算的转化，提高分析问题决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。

情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用学”的热情.

三、学习者特征分析（说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备（学习起点），以及的学习风格。最好说明教师是以何种方式进行学习者特征分析，比如说是通过平时的观察、了解；或是通过预测题目的编制使用等通过平时的观察、了解；学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。

四、教学策略选择与设计（说明本课题设计的基本理念、主要采用的教学与活动策略）

教学方法：启发式讲解

互动式讨论

研究式探索

反馈式评价

教学手段：借助多媒体辅助教学

教学过程设计说明

1、这是一节用空间向量求解空间角的专题课，基于学生对空间角的概念和基本的求解方法有一定的基础，所以节课先从空间各种角的概念、相关图形及取值范围进行复习，再通过一个相对比较综合的题目对普通方法求所有空间角巩固一下，为新课做好准备。

2、整个教学过程采用循序渐进的原则，使学生能更好地掌握所学知识。

3、教学过程中充分体现学生的主体作用，激发学生的学习兴趣，以达到良好的教学效果。

五、教学重点及难点（说明本课题的重难点）

教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式；

2）空间角与向量夹角的区别和联系。

教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别；

2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标. 关

键：

建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题.

其设计意图以及那些需要特别说明的教师引导语）

六、教学过程（这一部分是该教学设计方案的关键所在，在这一部分，要说明教学的环节及所需的资源支持、具体的活教师活动

预设学生活动

设计意图

教师提出问题：

1、异面直线所成的角、线面角、二面角的范围分别是什么？

2、两向量夹角的范围是什么？

3、向量的有关知识

（1）两向量数量积的定义

（2）两向量夹角公式

（3）什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？

（4）如何用直线的方向向量和平面的法向量证明线面间的平行与垂直？

自主练习

提问学生，学生一一作出回答。

复习空间角概念及

两条异面直线所成的角（线线角），直线和平面所法以及新学的空间向量成的角（线面角）及二面角的平面角（面面角）。

识，为新课做准备

分三步：作——证——求

1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，

则直线l与平面α所成的角等于(

) 以简单的练习题回顾空角的三种类型,在解题方上注重引导学生并通过

A．120°

B．60°

C．30°

D．以上均错

2．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD，

则异面直线AC与BF所成角等于(

) A．45°

B．30°

C．90°

D．60°

题让学生对所用知识有为详细的回顾，基于时间问题板演省略

提出问题：如何用空间向量来求解空间角？

教师引导，学生类比用向量求线线角的研究方法，通过独立探索、讨论得出结论

得出结论：分别在直线AB、CD上取定

教师板书用向量求线线角结论

量a,b,则异面直线AB、CD所成

的角等于向量a,b所成的角或

|ab|其补角如图，则cos.

|a||b|

1、学生说方法

1、

线线角

多媒体演示两异面直线夹角与向量夹角的区别和联系，

通过讨论、分析总结出用空间向量求线线角法，同时强调两者之间的学习习惯

别和联系，培养学生严谨

讲练结合使得知识能

2、方法归纳：求空间角的主要方法是通过平移转化法作出所成角,然后利用三角形边角关系求解

教师给出典例分析

题型一：求异面直线所成的角

学生练习

例1

变式训练

题型二：求直线与平面所成的角

2、线面角

多媒体演示线面夹角夹角与向量夹角的教师引导，学生类比用向量求线

别和联系，

线角的研究方法，通过独立探索、讨论得出结论

学生回答例题方法（两种）

教师板演例题的向量法

学生练习，求出答案，点评对错

及时巩固并找到方法规同时通过练习题熟悉线角的空间向量法，这样的计符合学生的认知规律

明确直线方向向量与面法向量所成角与线面的关

提问增加了师生间的流使这堂课变得生动活并使学生充分掌握化归转化的思想

通过数形结合，分类讨分析使学生掌握用法向

例2、

求二面角时不要忽略对面角大小的判断

变式训练

3、面面角

多媒体演示二面角与向量夹角的区别和联系，

例3、

通过此题主要是培养学

灵活运用所学知识解题

力的迁移

增加了师生间的交流使这堂课

泼并使学生充分掌握化归和

培养学生回顾、总结

观察、分析、理解用向量求二面角的方法和依据

能力和意识，彻底完成今的教学目标

学生思考后回答：

学生写出过程，实物投影展示

变式训练

课时小结

学生回答总结：

小结：1.异面直线所成角：CDcossin|cosCD,AB||cosn,AB|ABD1AO2.直线与平面所成角：nBn13.二面角：cos|cosn1,n2|cos|cosn1,n2|关键：观察二面角的范围n2

七、教学评价设计（创建量规，向学生展示他们将被如何评价（来自教师和小组其他成员的评价）。也可以创建一个评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价）

当堂检测

•

1．直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠ACB＝90°，D1，E1分别为A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC则BD1与AE1所成角的余弦值为

(

) •

A.

B.

C.

D. •

2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正值为(

) •

A.

B.

C.

D. •

4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，则AC1与侧面ABB1A1所成的角的正弦为________．

•

5．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝2cm，则这个二面角的度数为________．6．如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°. •

(1)证明：AB⊥A1C；

•

(2)求二面角A－A1C－B的大小．

八、板书设计（本节课的主板书）

板书设计

一、线线角

公式

二、线面角

公式

三、二面角

公式

课题

利用向量解决空间角问题

例题2

引例

多媒体投影