3.1.2 导数的概念第二课时教学实录

3.1.2导数的概念

教学目标：

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；

3.会求函数在某点的导数. 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 教学难点：导数的概念

一、【复习回顾】

1.什么是平均变化率？

2.求平均变化率步骤？

二、【创设情境】

1、平均变化率

2、探究

计算运动员在0≤t≤h 65这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？

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三、【新知探究】

1.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,t=2时的瞬时速度是多少？考察t=2附近的情况:

结论: 当Δt趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v都趋近于一个确定的值-13.1. 从物理的角度看,时间|Δt|间隔无限变小时,平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

h(2+Δt)-h(2)为了表述方便,我们用lim=-13.1Δt→0Δt表示"当t=2,Δt趋势近于0时,平均速度v趋近于确-13.1".定值

表示“当t=2,,Δt趋近于0时,平均速度v趋近于定值-13.1”

小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值. 2.导数的概念

从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: ()(ｆｘ＋Δｘ－ｆｘΔy００)=limΔx→0Δx→0ΔxΔｘlim'0

我们称它为函数y=f(x)在x=x0 处的导数,记

作f(x)或y'|

Δyf(x０＋Δx)－f(x０)(x0)即：f′＝lim＝limΔx→0Δx→0x=x0ΔxΔx

x=x0 处的瞬时变化率; Δyf(x０＋Δx)－f(x０)(x0)＝lim＝lim (2)f′Δx→0Δx→0说明: (1)导数即为函数y=f(x)在

ΔxΔx(Δx→0）,.

【例题精析】

例1 (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=x2+x在x=-1附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求Δf=Δy=f(x0+Δx)-f(x0),再求ΔyΔy,最后求lim. Δx→0ΔxΔx解:

在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

根据导数定义Δyf(2+Δx)-f(2)=ΔxΔx

=(2+Δx)2-7(2+Δx)+15-(22-7×2+15)Δx4Δx+Δx2-7Δx==Δx-3,Δx

Δyf'(2)=lim=lim(Δx-3)=-3Δx→0ΔｘΔx→0所以同理可得f'(6)=5.

在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为-3和5, 说明在第2h附近,原油温度大约以3C/h的速率下降

在第6h附近,原油温度大约以5C/h的速率上升. 注: 一般地,f(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.

课堂练习

1.质点运动规律为s=t+3,求质点在t=3的瞬时速度为. 2.求曲线y=f(x)=x在x=1时的导数. 3.例2中,计算第3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 四、【课堂小结】

32'

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念. 2.导数的概念.

五、【书面作业】

课本79页第2题六、【板书设计】